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:::::::roduit scalaire::::::::::

Posté par
H_aldnoer 07-04-05 à 23:05

slt a tous

alors voila j'ai un petit pb sur le produit scalaire ca remonte un peu a loin et je n'arrive pas a traiter cette question :

soit ABC un triangle isocele telle que AB=AC=4 et BC=3

calculer 3$\vec{AB}.\vec{AC}

merci de votre aide !

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:11

Salut

D'aprés le théoréme d'Al-kashi :

BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2cos(\vec{AB},\vec{AC})
donc :
cos(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{BC^{2}-AB^{2}-AC^{2}}{-2}
ie
cos(\vec{AB},\ve{AC})=\frac{9-16-16}{-2}
au final :
cos(\vec{AB},\vec{AC})=\frac{23}{2}

Or nous avons :
\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AC\times cos(\vec{AB},\vec{AC})
soit :
\vec{AB}\cdot\vec{AC}=16\times\frac{23}{2}=194


Jord

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:14

euh

c'est plutot :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\times AC\times cos(\vec{AB},\vec{AC})

mais bon tu auras compris le raisonnement


Jord

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:15

d'accord le fameux theorem !!

tu peux me rappeler d'ou elle vient ... si ca né pa tro te demandé !

encore merci

Posté par BABA72 (invité)re : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:17

coucou,

alors AB.AC = ||AB||.||AC||.cos(AB;AC)    avec le 0<=cos<=     tout en vecteur...

et cos(AB;AC) = 1/2.||AB|| / ||AC||  ds le triangle ADC (D milieu de BC)

BABA

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:20

Re

Il vient d'Al-kashi

Non plus serieusement , il se démontre facilement grace aux produits scalaire :

Pour tout point A , B et C du plan non alignés :
3$\begin{tabular} \vec{BC}&=&\(\vec{AC}-\vec{AB}\)^{2}\\&=&AC^{2}+AB^{2}-2\vec{AB}\cdot\vec{AC}\\&=&AC^{2}+AB^{2}-2||\vec{AB}||\times||\vec{AC}||\times cos(\vec{AB},\vec{AC})\\&=&AC^{2}+AB^{2}-2AB.AC.cos(\vec{AB},\vec{AC})\end{tabular}


Jord

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:24

euh dsl de te soliciter si svt mais :

- je ne comprens pa a première ligne

- comment fait tu pour obtenir en latex un tel alignement des égalités ?

encore merci !


Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:26

et une autre question

pour le meme triangle faut-t-il employer le theorem d'al kashi pour calculer :

3$\vec{CA}.\vec{CB}

??


Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:28

Re
Euh oui mince , c'est BC^{2} et non \vec{BC} autant pour moi ( je suis fatigué ce soir )

Pour obtenir l'alignement , j'utilise les tableaux :

\begin{tabular} (a+b)^{2}&=&(a+b)(a+b)\\&=&(a+b)a+(a+b)b\\&=&a^{2}+ab+ab+b^{2}\\&=&\fbox{a^{2}+b^{2}+2ab}\end{tabular}
te donnera :
\begin{tabular} (a+b)^{2}&=&(a+b)(a+b)\\&=&(a+b)a+(a+b)b\\&=&a^{2}+ab+ab+b^{2}\\&=&\fbox{a^{2}+b^{2}+2ab}\end{tabular}


Jord

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:30

Re

\begin{tabular}\vec{CA}\cdot\vec{CB}&=&(-\vec{AC})\cdot(-\vec{BC})\\&=&(-1).(-1)\vec{AC}\cdot\vec{AB}\\&=&\vec{AC}\cdot\vec{AB}\end{tabular}

On obtient donc le même résultat


jord

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:32

re

et pour mon deuxième post ? tu as regarder ?

encore pour la formule !


@+ _ aldo

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:33

Bon alors je suis passé par magie de BC à AB je me disais bien qu'il y avait un bug

Non par contre on peut écrire :
\begin{tabular}\vec{CA}\cdot\vec{CB}&=&\vec{AC}\cdot\vec{BC}\\&=&\vec{AC}\cdot\(\vec{BA}+\vec{AC}\)\\&=&\vec{AC}\cdot\vec{BA}+\vec{AC}\cdot\vec{AC}\\&=&-\vec{AC}\cdot\vec{AB}+AC^{2}\end{tabular}

Le calcul est tout de suite plus simple


jord

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:35

plus rapide que l'eclair

juste par simple curiosité comment lis tu la 2ième egalité lorsque tu met :(-1).(-1)\vec{AC}.\vec{AB}

Posté par jiju33 (invité)re : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:35

hum hum ....

AB.AC = AB.(AB+BC)
      = AB² + AB.BC
      = AB²  - BA.BC      soit H le projeté de A sur (BC)
      = AB² - BH.BC
      = 16 - 1.5*3 = 11.5  (etrange !)

dsl mais jsuis pas un fan d'al kashi

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:36

re

-1 fois -1 fois produit scalaire de \vec{AC} et \vec{AB}


jord

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:36

dsl mais que vaut -\vec{AC}.\vec{AB} ??

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:37

-\vec{AC}\cdot\vec{AB}=-\(\vec{AC}\cdot\vec{AB}\)
tu as calculé \vec{AC}\cdot\vec{AB} en premiere question


Jord

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:39

...

si evident ... lol

et pour finir (enfin jespere) comment fait on pour mettre des extraits de la FAQ ??

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:40

héhé , seul les rouges et les particuliers du forum énigme ont ce privilége

Bon allez , je suis mort moi , je vais au dodo . Bonne nuit


Jord

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:45

est que tu mexpliquer un dernier truc ?

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:46

comment passe t on de 3$\vec{AC}.\vec{BA} à 3$-\vec{AC}.\vec{AB} ??

Posté par jiju33 (invité)re : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:54

AC.BA = AC.(-AB) = -AC.AB

Posté par
Nightmarere : :::::::roduit scalaire:::::::::: 07-04-05 à 23:55

Re

\vec{AC}\cdot\vec{BA}=\vec{AC}\cdot(-\vec{AB})=-\vec{AC}\cdot\vec{AB}

car je rappelle que :
(a\vec{u})\cdot(b\vec{v})=ab\vec{u}\cdot\vec{v}

Tu peux jeter un coup d'oeil sur cette fiche


Jord

Posté par
ma_corre produit scalaire 08-04-05 à 09:45

Bonjour à tous.
Pour H_aldnoer, je fais un petit dessin pour lui faire comprendre mon calcul de \vec{AB}.\vec{AC}.
\vec{AB}.\vec{AC}=\vec{AB}.\vec{AH} où H est le projeté orthogonal de B sur (AC).  Puisque \vec{AC} et \vec{AH} sont de même sens, le produit scalaire revient à faire le produit des longueurs : \vec{AB}.\vec{AC}=||\vec{AC}||.||\vec{AH}||=4x.
Or, BH^2=AB^2-x^2=BC^2-(4-x)^2\Leftrightarrow 16-x^2=9-(4-x)^2\Leftrightarrow 16-x^2=9-16+8x-x^2\Leftrightarrow x=\frac{23}{8}.
Donc, \vec{AB}.\vec{AC}=\frac{23}{2}, sans utiliser Al Kashi.
A+ sur l'

re produit scalaire

Posté par
H_aldnoerre : :::::::roduit scalaire:::::::::: 08-04-05 à 17:36

slt a toi ma_cor !

merci pour ta reponse il est vrai que pour kelkun ki ne connaissai pa Al-Kashi (ou ne sen rappelé plus ) ta reponse me semble tres coherente

... fo vraiment que je mis remette aux produit scalaire

@+ _ aldo


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