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Produit scalaire

Posté par Saverok (invité) 09-04-05 à 15:58

Salut à tous! J'aurais besoin d'aide svp.

Soit le cube ABCDEFGH d'arête de longueur a (a positif).

   H          G

E          F

   D         C


A          B

(voilà la figure faite avec les moyens du bords...)


Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH)

1. calculer en fonction de a le sproduits scalaires:
EA.AF; AB.AF et BC.AF (tout cela en vecteurs bien sur)

2. En déduire que les vecteurs EC et AF sont orthogonaux.
  On admettra de même pour EC et AH

3. En déduire que I ets le projeté orthogonal de E sur le pan (AFH).

4. a. Justifier les résulatts suivants: (AF) et (EH) soont orthogonales, tout comme (AF) et (EI).
   b. En déduire que (AF) ets orthogonale (HI).
   c. Etablir de même que la droite (AH) ets orthogonale à la droite (FI)

5. Que représente le point I pour le triangle AFH?


Merci de votre aide.

Posté par
dad97 Correcteurre : Produit scalaire 09-04-05 à 17:10

Bonjour Saverok,

3$\rm\vec{EA}.\vec{AF}=\vec{EA}.(\vec{AE}+\vec{EF})=\vec{EA}.\vec{AE}+\vec{EA}.\vec{EF}

or 3$\rm\vec{EA}.\vec{AE}=-\vec{EA}.\vec{EA}=-EA^2=-a^2

et 3$\rm\vec{EA}.\vec{EF}=0 puisque 3$\rm(AE)\perp (EF)

donc 4$\rm\blue\fbox{\vec{EA}.\vec{AF}=-a^2}

La démarche et la même pour les deux autres produits scalaires et on trouve :

4$\rm\blue\fbox{\vec{AB}.\vec{AF}=a^2} et 4$\rm\blue\fbox{\vec{BC}.\vec{AF}=0}

2. sommer les différents produits scalaire calculés en 1. , factoriser et conclure.

3. Le plan (AFH) est l'ensemble des points M tels qu'il existe k et k' réels, \rm\vec{AM}=k\vec{AF}+k^'\vec{AH}

en premant un point M quelquelconque dans le plan (AFH) et en calculant le produit scalaire des vecteurs \rm\vec{AM} et \rm\vec{EC} on s'aperçoit compte tenu de 2. que \rm\vec{EC} est orthogonale à tout vecteur ayant ses extremités dans le plan (AFH) on en déduit que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (AFH)

et par définition du projeté orthogonale d'un point sur un plan on en déduit que I est st le projeté orthogonale de E sur le plan (AFH).

4.a.\rm\vec{EH}=\vec{BC} et question 1.
\rm\vec{EI} est colinéaire à \rm\vec{EC}...

4.b De 4.a on déduit que \rm\vec{AF}.\vec{HE}=0 et \rm\vec{AF}.\vec{EI}=0 et si on sommait ses deux produits scalaires...

4.c. Montrer que (AH) est orthogonale à (FE) et montrer que (AH) est orthogonale à (EI)
Ecrire des produits scalaires le traduisant et les sommets.

5. Dessiner le triangle AFH et placer ce que l'on sait :
d'après 4. (FI) est perpendiculaire à (AH) (ne serait-ce pas une hauteur ? du tringle AFH) et (HI) perpendiculaire à (AF) (ne serais-ce pas une autre hauteur du triangle AFH...

Salut


Produit scalaire

Posté par
dad97 Correcteurre : Produit scalaire 09-04-05 à 17:12

hum parmi d'autres bêtises d'écriture lire :
Ecrire des produits scalaires le traduisant et les sommer.

Posté par Saverok (invité)re : Produit scalaire 09-04-05 à 20:50

Merci beaucoup, et pour le figure c'ets exactement ça!!!!


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