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Produit scalaire
Bonjour,
En ce moment nous abordons un chapitre concernant les produits scalaires, suite à cela nous avons commencé ce problème j'ai quelques difficultées à le terminer, il me reste à finir les questions e) et f)
Merci d'avance pour votre aide.
On note E = 
[X] et 
n 
en=Xn
a) On considère l'application (.|.) définie par P Q E (P|Q) =
Montrer que (.|.) est un produite scalaire . Dans la suite E sera toujours muni de ce produit scalaire.
b) Soit n p calculer
c) Pour tout n on note un =
soit n
montrer que p {O;1;...;n-1} un(n)(-1) = 0 un(p)(1) = 0
calculer un(n)(-1) et un(n)(1)
d) On définit la suite v des polynômes de Legendre par:
v0=1 et n * vn = un(n)
) Calculer les polynômes vn pour 0 
n 3
) Calculer deg vn pour tout n
e) Soit n * et p < n on veut montrer dans cette question que vn orthogonal à ep
) Montrer que (un(n)|ep) = -p(un(n-1)|ep-1)
) En déduire que (un(n)|ep) = K(un(n-p)|e0)
) En déduire que vn orthogonal à ep
f) ) Soit n p avec p < n montrer que vn orthogonal vp
) Soit n donner une base orthogonale de l'espace euclidien n[X]
donc pour la e)), K = (-1)pp!
dans e)) il faut donc montrer que (vn|ep)=0
donc montrer que (un(n)|ep)=0
donc montrer que K(un(n-p)|e0)=0
donc montrer que (-1)pp!(un(n-p)|e0)=0
Mais comment m'y prendre? Le même problème se pose dans la question f)
Merci encore pour votre aide.
pour la question alpha tu fais une integration par partie
en raisonnant sur le membre
-p(un(n-1)|ep-1)
tu pose U =(Un)(n-1) U'=(Un)(n)
V'= -pep-1 V= - ep
tu trouveras l'egalité....
Merci pour ta réponse aicko mais celle ci je l'ai faite je bloque sur la e) ). Tu aurais une petite idée?
Salut
pour le il suffit que tu utilises le c) en observant que
Donc
Pour le f il suffit d'utiliser que le polynôme est un poly de degré inférieur à n.
Salut titimarion,
Merci pour ta réponse je n'avais pas pensé à utiliser la définition du début de l'exercice.
Pour la f) ) J'ai essayé d'utiliser le fait que vp a un degré inférieur à vn mais je ne vois pas comment faire pour recoller avec mon problème d'orthogonalité.
Pour la f) ) je pense que les suites vn et vp forme une base orthogonale de l'espace euclidien Rn[X] est ce exact?
Merci d'avance.
Le polynome vn est de degré n il est orthogonal d'après la question précédente a tous les ep p<n qui forment une base de ainsi uisque vp est de degre p<n alors vp est orthogonal a vn.
Le fait d'etre orthogonal est équivalent a ce que le produit scalaire soit nul.
Et pour le
Une base orthogonale de est donc
Merci encore pour votre réponse.
Je vais paraître vraiment embêtante mais je ne comprend pas en quoi le fait que vp est un degré inférieur à celui de vn montre que vp et vn sont orthogonaux. Pourriez vous m'expliquer? Merci.
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