bonjour ,
tout d'abord, il faut savoir que tu as deux choses à montrer:
1) si (BI) et (CJ) sont perpendiculaires, alors AB²+AC² = 5 BC²
2) si AB²+AC² = 5 BC², alors (BI) et (CJ) sont perpendiculaires

ainsi, il faut que tu saches ce que tu veux montrer en premier, parce que l'hypothèse va devoir être utilisé.

prenons par exemple le 1er point à démontrer.
que signifie (BI) et (CJ) sont perpendiculaires en terme de vecteur et de produit scalaire?

vu que tu as le point A qui intervient dans la conclusion, je te propose d'utiliser la relation de Chaslès dans les deux vecteurs que tu as à ta disposition, puis développe.
ensuite, à mon avis, tu devrais faire intervenir le théorème d'Al Kashi (mais observes avant tout )

pour le 2ème point, j'y réfléchis

pour le 2ème point, je pense que tu peux utiliser les égalités du 1er point pour arriver à la conclusion, en supposant que AB²+AC² = 5 BC² et en remontant

bon courage

J'avais déjà essayé hier de partir de vecteur BI.CJ=0, et j'ai développé dans tous les sens. Mais je ne m'en suis pas sorti. Je vais réessayer aujourd'hui et peut être que l'inspiration va venir.
Je trouve que le travail des vecteurs est assez subtil. J'ai l'impression qu'il n'y a pas d'astuce particulière. Ou on voit tout de suite l'astuce ou on peut tourner pendant des heures sans arriver à rien...

ouf je crois que j'ai trouvé pour la première partie. Par contre je ne suis pas sûr d'avoir fait au plus court...
Si (BI) perpendiculaire à ((CJ)
vect BI.CJ= (...)= 5/4 AK^2 -5/4 KB^2 -1/2AB^2- 1/2AC^2= 0
D'où AB^2 + AC^2= 5/2AK^2 -5/2KB^2

Soit K milieu de [BC]
AB^2 + AC^2= 2AK^2+ 1/2BC^2

Donc 2AK^2+1/2BC^2= 5/2AK^2 -5/2KB^2
AK^2= 9/4 BC^2

et en remplaçant AK^2 dans la première expression,
AB^2 + AC^2= 5BC^2

Maintenant, je suppose que je dois m'attaquer à la réciproque.

Comme Muriel ne semble pas connectée, je me permets d'intervenir.
Pour le premier point, elle a tout dit dans son mél. ci-dessus.
Tout ce qui suit est en vecteurs, et les lignes sont équivalentes.

CJ.BI=0
(CA+CB)(BC+BA)=0 (théorème de la médiane)
CA.BC+CA.BA+CB.BA-BC.BC=0
2CA.BC+2CA.BA+2CB.BA-2BC^2=0
(AB^2-AC^2-BC^2)+(AC^2+AB^2-BC^2)+(AC^2-BC^2-AB^2)-2BC^2=0
AC^2+AB^2-5BC^2=0

Je ne connais pas ce théorème de la médiane. Ce que je connais sous ce nom c'est l'égalité
MA^2+ MB^2= 2MI^2+ 1/2AB^2

Peux tu me donner un lien où je peux trouver une démonstration de ce théorème?

Le théorème de la médiane a plusieurs forme, dont la plus simple est :
CJ=(CA+CB)/2 (en vecteurs)

En ce qui concerne le lien, j'ai tapé "théorème de la médiane" dans Google, et le premier site affiché semble très intéressant :


Nicolas

bonjour ,
merci Nicolas_75

pour ma part, j'aurais fait cela:

puis tu développes:


ensuite, tu observes certains points:



d'où



enfin, avec le théorème d'AL Kashi, on a

donc


ce qui donne:


et après calcul, tu obtiens ton résultat
_________________________
pour ce qui est du théorème de la médiane, en général, on parle de celui que letonio a donné et non de l'autre (jamais entendu parler de ce deuxième )

voilà

petite erreur de signe à la fin:

ce qui donne:


désolée

bonjour je suis nvelle sur cette site et j'ai un blem avec un exo sur le prduit scalaire: voila
Soit un EFGH un quadrilatere inscrit da,s un cercle ,et dont les diagonales [EG] et [FH] se  coupent en un point I . Demontrer la relation suivante:
Vecteurs IE.IG = vecteurs IF.IH
MERCI D'AVANCE !!