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produit scalaire

Posté par
Cryptocatron-11 18-08-11 à 13:47

Bonjour , J'ai fait un exo de base mais à la fin je me suis rendu compte d'un truc louche. J'ai un + au lieu d'un moins et je ne vois pas l'erreur dans mon raisonnement.  
Je vous expose l'exercice :

Soient A, B et M trois points du plan. On désigne par I le milieu de [AB]

En fait, Il faut montrer que M est sur le cercle de diamètre AB ssi \vec{MB} . \vec{MA}=0

Pour cela, j'ai commencé à exprimer \vec{AB} . \vec{MA} en fonction de \vec{MI} et \vec{IA} puis ensuite en fonction de IA² et MI².

J'ai posé \vec{MI}(x,y) et \vec{IA}(x',y') pour leur coordonnées.

\vec{MA}.\vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA}).(\vec{MI}- \vec{IA})
=(x+x',y+y').(x-x',y-y')
= (x-x')^{2}+(y-y')^{2}
= x^{2}-2xx'+x'^{2}+y^{2}-2yy'+y^{2}
=-2(xx'+yy')+IA^{2}+MI^{2}
=-2(\vec{MI}.\vec{IA})+IA^{2}+MI^{2}


Mais je peux remplacer (\vec{MI}.\vec{IA}) par -(\vec{IM}.\vec{IA}) Non ?

Donc ça nous donne (d'après la formule du produit scal de 2 vecteurs) :

\vec{MA}.\vec{MB}=2 \times \frac{1}{2} \times (IA^{2}+IM^{2}-MA^{2})+IA^{2}+MI^{2}

Il faut que le triangle AIM soit rectangle en I avec MA comme hypoténuse, d'où AM²=MI²+IA²

On arrive donc à \vec{MA}.\vec{MB}=2 \times \frac{1}{2} \times (IA^{2}+IM^{2}-(MI^{2}+IA^{2}))+IA^{2}+MI^{2}

Et donc à \vec{MA}.\vec{MB}=IA^{2}+MI^{2}

Or pour que M soit sur le cercle il faut que IA=MI d'ou IA²=MI² et donc IA²-MI²=0 mais y'a un problème moi j'ai IA^{2}+MI^{2} et pas IA^{2}-MI^{2}

J'ai beau chercher mais je trouve pas pourquoi j'ai un + au lieu d'un - !!

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : produit scalaire 18-08-11 à 14:28

Bonjour,

\vec{MB}.\vec{MA}=(\vec{MI}+\vec{IB}).(\vec{MI}+\vec{IA})

I étant le milieu de [AB] \vec{IB}=-\vec{IA}

donc

\vec{MB}.\vec{MA}=(\vec{MI}-\vec{IA}).(\vec{MI}+\vec{IA})=MI^2-IA^2

Posté par
Cryptocatron-11re : produit scalaire 18-08-11 à 15:49

Oui on peut utiliser le carré du sclaire (ce que j'ai fais en premier) mais je viens pas ici pour qu'on me fasse l'exercice mais juste pour savoir ce qui va pas dans la deuxième methode .

Merci.

Posté par
Cryptocatron-11re : produit scalaire 18-08-11 à 16:19

Ah non je me suis rendu compte que j'ai fait (x+x')(x-x')=(x-x')² ! grossière erreur ..


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