bonjour

1)
M(x;y;z) appartient à P ssi AM orthogonal à n
                        ssi AM.n=0
                        ssi (x-8)(2)+(y-0)(-2)+(z-8)(1)=0
                        ssi 2x-16-2y+z-8=0
                        ssu 2x-2y+z-24=0
c'est l'équation du plan P

2)on a 2*0-2*0+0-24=-24<0 donc le demi-espace E délimité par P et contenenant O est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que 2x-2z+z-24 <= 0

3)I(xo;yo;zo) le centre de S on a:
d(I;P)=|2xo-2yo+zo-24|/V(4+4+1)=6 donc |2xo-2yo+zo-24|=18
comme I appartient à E donc 2xo-2yo+zo-24 <0
donc |2xo-2yo+zo-24|=-2xo+2yo-zo+24
donc -2xo+2yo-zo+24=18
2xo-2yo+zo=6

IB=(xo-10;yo-1;zo-6) et AB=(2;1;-2)

IB orthogonal à AB donc IB.AB=0 donc 2(xo-10)+(1)(yo-1)+(-2)(zo-6)=0
donc
2xo+yo-2zo-9=0
donc I est solution du système
2xo+yo=2zo+9
2xo-2yo=-zo+6
qui pour solution:
xo=(zo/2)+4
yo=zo+1

d'autre part IB²=6² donc
(zo/2-6)²+zo²+(zo-6)²=36
zo²/4-6zo+36+zo²+zo²-12zo+36=36
9zo²/4-18zo+36=0
zo²/4-2zo+4=0
zo²-8zo+16=0
(zo-4)²=0
zo=4

donc xo=4/2+4=6 et yo=4+1=5 donc I(6;5;4)

donc l'équation de la sphère est:
(x-6)²+(y-5)²+(z-4)²=36

Merci beaucoup pour votre aide mais je n'ai pas compris pour la question 2 lorsque vous divisez par V  :
( I(xo;yo;zo) le centre de S on a:
d(I;P)=|2xo-2yo+zo-24|/V(4+4+1)=6 donc |2xo-2yo+zo-24|=18 )
V correspond a quoi??

V()=racine carré

d(I;P)=|2xo-2yo+zo-24|/V(4+4+1)=6  exprime la distance du point I au plan P dont on connait l'équation cartésiènne 2x-2y+z-24=0 et cette distance on saot aussi qu'elle est égale à 6.