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produit scalaire

Posté par sylvain39 (invité) 26-02-06 à 13:27

bonjour pourriez vous m'aider svp

1)a) demontrer que pour tous points A,B,C,D de l'espace : AB.CD + AC.DB + AD.BC= 0

b) demontrer que : si ABCD est un tetraèdre regulier alors : AB.CD=AC.DB=AD.BC=0

c) on suppose que ABCDEFGH est un cube
calculer AE.BC ; AB.CE et AC.EB

Posté par
Youpire : produit scalaire 26-02-06 à 14:33

on peut écrire (en vecteurs):

AB.CD + AC.DB + AD.BC = AB.CD + (AB+BC).DB + (AB+BD).BC
<=> AB.CD + AC.DB + AD.BC = AB.(CD+DB+BC) + BC.DB + BD.BC

or comme CD+DB+BC=0 et BD.BC= - DB.BC= - BC.DB

alors :AB.CD + AC.DB + AD.BC =0

Posté par sylvain39 (invité)re : produit scalaire 26-02-06 à 18:35

je doi faire commen pour le b) et le c) svp. merci Youpi pour le  a)

Posté par sylvain39 (invité)re : produit scalaire 26-02-06 à 20:20

vou savez pas commen je pe faire ?
merci d'avance

Posté par
Youpire : produit scalaire 26-02-06 à 21:03

si ABCD est un tétraèdre régulier, alors les triangles ABC, BCD,ABD et ACD sont équilatéraux et isométriques entre eux.
on suppose AB=BC=CD=AD=AC=BD=a

on a \vec{AB}.\vec{CD}=(\vec{A D}+\vec{DB}).\vec{CD}=\vec{A D}.\vec{CD}+\vec{DB}.\vec{CD}=\vec{DA}.\vec{DC}-\vec{DB}.\vec{DC}

or come ADC est équilatérale de côté a  \vec{DA}.\vec{DC}=a\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{a}{2}

et de même \vec{DB}.\vec{DC}=\frac{a}{2}

donc \fbox{\vec{AB}.\vec{CD}=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}=0}

de même \fbox{\vec{AC}.\vec{DB}=\vec{A D}.\vec{BC}=0}


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