bonsoir permettez moi de vous aider.

dans un repére orthonormal (o, i,j) ona:
OA=-4i+2j
OB=2i-2j
OC=-3i+3j
et OD=-2i-5j
1) la  figure vous l'avez faite.

2) le cercle  £  de diamétre
[AB] est l'ensemble des points M tels que AM.BM=0

(ici £ à la place du grand GAMA)

AM=OM-OA=(x+4)i+(y-2)j
BM=OM-OB=(x-2)i+(y+2)j

AM.BM=(x+4)(x-2)+(y-2)(y+2)
           = x²+2x-8+y²-4
           = x²+y²+2x-12

M appartient à £ ssi AM.BM=0
                            ssi x²+y²+2x-12=0
c'est l'équation du cercle £ dans le repère (O,i,j).


cette équation peut s'écrire:
(x+1)²-1+y²-12=0
ssi (x+1)²+y²=13

le cercle £ a donc pour rayon G(-1,0) et de rayon rc(13).

G à la place de OMEGA et rc() désigne la racine carré.

3)a) On a OC=-3i+3j

(-3+1)²+3²=(-2)²+9=4+9=13

donc C appartient à £

b) GB=OB-OG=(2i-2j)-(-i)=3i-2j .
   GC=OC-OG=(-3i+3j)-(-i)=-2i+3j
donc ||GB||=rc(3²+(-2)²)=rc(9+4)=rc(13) on retrouve le rayon du cercle
£ ce qui est tout à fait normal puisque B appartient à £.
  
de même ||GC||=rc((-2)²+3²)=rc(4+9)=rc(13)  

c) la formule du produit scalaire vous donne:

GB.GC=||GB||.||GC||cos(BGC)

GB.GC=3.(-2)+(-2).3=-6-6=-12
||GB||.||GC||=rc(13).rc(13)=13

donc cos(BGC)=-12/13  donc BGC=157° (à un° près)

4) déterminer une équation de la tangente T au cercle  
au point C.

remarque générale:

lorsque vous avez une équation cartésienne d'un cercle :

x²+y²-2ax-2b+c=0

alors l'équation de la tangente au cercle issue du point (xo,yo) a
pour équation:

xxo+yyo-a(x+xo)-b(y+yo)+c=0  ( on dit qu'elle est obtenue par dédoublement).

pour notre cas le cercle £ a pour équation:

x²+y²+2x-12=0

donc la tangente au cercle issue d'un point (xo,yo) a pour équation:

xxo+yyo+(x+xo) -12=0

application au point C(-3,3)

-3x+3y+(x-3)-12=0
-2x+3y-15=0

2x-3y+15=0  c'est l'équation de la tangente à £ au point C.

5) a)  déterminer les coordonnées des points P et Q du cercle  
  en lesquels la tangente passe par  D. soit (xo,yo) les coordonnées
du point P. alors l'équation de la tangente à £ au point P est:

xxo+yyo+(x+xo) -12=0.

comme D appartient à cette tangente donc:

-2xo-5yo-2+xo-12=0

ssi -xo-5yo-14=0

ssi xo=-5yo-14

d'autre part le point P(xo,yo) appartient au cercle £ donc:

(xo+1)²+yo²=13

en remplçant xo par -5yo-14=xo on obtient:

(-5yo-13)²+yo²=13

ssi 25yo²+130yo+13²+yo²-13=0
ssi 26yo²+130yo+13²-13=0
ssi 2yo²+10yo+13-1=0
ssi yo²+5yo+6=0
D=25-24=1

yo=(-5+1)/2=-2 qui donne xo=-5(-2)-14=-4

yo'=(-5-1)/2=-3 qui donne xo'=-5(-3)-14=1

donc le point P a pour coordonnées (-4,-2)
et le point Q a pour coordonnées(1,-3)

b) pour montrer que GPDQ est un carré.

il faut pontrer que :

GP=QD et GP.GQ=0 et ||GP||=||GQ||

GP=OP-OG=(-4i-2j)-(-i)=-3i-2j
QD=OD-OQ=(-2i-5j)-(i-3j)=-3i-2j
GQ=OQ-OG=(i-3j)-(-i)=2i-3j

donc GP=QD
GP.GQ=(-3)(2)+(-2)(-3)=-6+6=0

||GP||=rc((-3)²+(-2)²)=rc(9+4)=rc(13) norml P appartient au cercle £
de m^me Q appartient au cercle £ donc ||GQ||=rc(13)

donc ||GP||=||GQ||

en résumé:

GP=QD
GP.GQ=0
||GP||=||GQ||

donc GPDQ est un carré.

voila

bon courage

5)
a)

Le cercle a pour équation: (x+1)² + y² = 13

Eq générale des droites passant par D (sauf celle // à l'axe des
ordonnées):

y = mx + k
passe par D(-2 ; -5) ->
-5 = -2m + k
k = 2m - 5

y = mx + 2m - 5
---
Les points de contact de cette droite avec le cercle se trouvent en résolvant
le système:

(x+1)² + y² = 13
y = mx + 2m - 5


x² + 2x + 1 + m²x² + 4m² + 25 + 4m²x - 10mx - 20m = 13

x²(1 + m²) + 2x(2m² - 5m + 1) + 4m² - 20m + 13 = 0   (1)

Comme on veut que les droites soient tangentes au cercle, il faut que l'équation
(1) ait une racine double.
-> son discriminant doit être nul.

Rho = (2m² - 5m + 1)² - (1+m²) .(4m² - 20m + 13) = 0

4m^4 + 25m² + 1 - 20m³ + 4m² - 10m - 4m² +20m - 13 -4m^4 + 20m³ - 13m²
= 0

12m² + 10m  - 12  = 0
6m² + 5m - 6 = 0.

m = -3/2 et m = 2/3 conviennent.

-> les tangentes au cercle passant par D ont pour équation:

y = -(3/2)x - 8
et
y = (2/3)x - (11/3)
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Les points P et Q se trouvent en résolvant les systèmes:

(x+1)² + y² = 13
y = -(3/2)x - 8

(x+1)² + y² = 13
y =(2/3)x - (11/3)
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1°)
(x+1)² + y² = 13
y = -(3/2)x - 8

Résolu, ce système donne: x = -4 et y = -2

-> un des points de tangence a pour coordonnées(-4 ; -2).
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2°)
(x+1)² + y² = 13
y =(2/3)x - (11/3)

Qui résolu donne le second point (1 ; -3)
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b)
Il reste à montrer que les points suivant forment un carré.

Oméga(-1 ; 0)
P(1 ; -3)
D(-2 ; -5)
Q(-4 ; -2)

vect(Omega P) : (2 ; -3)
vect(QD) : (2 ; -3)
Et donc les cotés (Omega P) et QD sont égaux et //.

vect(DP) : (3 ; 2)
vect(Q Omega) : (3 ; 2)
Et donc les cotés (Q Omega) et DP sont égaux et //.

On a aussi  |Omega P| = |DP| et donc les 4 cotés du quadrilatère Omega
PDG sont égaux.

vect(QD).vect(DP) = 2*3 - 3*2 = 0
Et donc QD est perpendiculaire à DP.

Je te laisse conclure ...
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Sauf distraction.

je n'est pa compris comment vous avez réusi a trouver les deux
équation 1°) et 2°) pouriez m'expliquer?
merci d'avance

merci watik