sin(3x) = 3.sin(x) - 4sin³(x)
->
sin(3x)/sin(x) = 3 - 4sin²(x)  

cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x)
->
cos(3x)/cos(x) = 4cos²(x) - 3  (2)

sin(3x)/sin(x) - cos(3x)/cos(x) = 3 - 4sin²(x) - 4cos²(x) + 3  
sin(3x)/sin(x) - cos(3x)/cos(x) = 6 - 4(sin²(x) + cos²(x))
sin(3x)/sin(x) - cos(3x)/cos(x) = 6 - 4
sin(3x)/sin(x) - cos(3x)/cos(x) = 2
------------------------------------------------------------
Si tu ne connaissais pas le relation: sin(3x) = 3.sin(x) - 4sin³(x),pour
la retrouver, on fait :

sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x).cos(x) + cos(2x).sin(x)
sin(3x) = sin(2x + x) = 2.sin(x).cos²(x) + (1-2sin²(x)).sin(x)
sin(3x) = sin(2x + x) = 2.sin(x).(1-sin²(x)) + (1-2sin²(x)).sin(x)
sin(3x) = 3.sin(x) - 4sin³(x)

Si tu ne connais pas la relation cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x), elle
se démontre suivant le même principe.
-----
Sauf distraction.  

Question subsidiaire:

Pourquoi as-tu appelé ta question "Produit scalaire" ?

car c le nom de l'excercice, je sais c'est bizarre

bonjour
permettez moi d'ajouter le complément suivant:

si on pose A=sin(3x)/sin(x)-cos(3x)/cos(x)

alors Acos(x)sin(x)=cos(x)sin(3x)-sin(x)cos(3x)

si l'on considère maintenant les deux vecteurs:

u=icos(x)+jsin(x)  et v=icos(3x)+jsin(3x)

alors

Acos(x)sin(x)=u^v  ; produit vectoriel. et no pas produit scalaire.

on sait alors que u^v=||u||.||v||sin(u,v)


||u||=1 et ||v||=1

l'angle(u,v)=3x-x mod (2pi)
                   =2x mod (2Pi)

donc sin(u,v)=sin(2x)=2sin(x)cos(x)

donc Acos(x)sin(x)=u^v= 2sin(x)cos(x)

donc en simplifiant par sin(x)cos(x)

A=2


deuxième méthode avec les produits scalaires:

on a:

cos(x)=sin(Pi/2  +x)
et - sin(x)=cos((Pi/2  +x)

considérons maintenant les deux vecteurs:

U=icos((Pi/2  +x)+jsin(Pi/2  +x)
et V=icos(3x)+jsin(3x)

alors

Acos(x)sin(x)=cos(x)sin(3x)-sin(x)cos(3x)
                       =sin(Pi/2  +x)sin(3x)+cos(Pi/2  +x)cos(3x)
                       =U.V   ; et là nous avons un produit scalaire.

on sait que

U.V=||U||.||V|| cos(U,V)

cette fois l'angle (U,V)=(3x-(Pi/2+x))
                                     = 2x -Pi/2  mod(2Pi)

donc
cos(U,V)=cos(2x-Pi/2)
               =cos(Pi/2-2x)
               =sin(2x)
               =2sin(x)cos(x)

comme ||U||=||V||=1

donc U.V=2sin(x)cos(x)

donc

Acos(x)sin(x)=2sin(x)cos(x)

donc A=2  en simplifiant par cos(x)sin(x).

voila

je vous prie d'accépter mes remerciements.

bon courage.