Bonjour,

FI.EJ n'est certainement pas nul !!
vu que ces vecteurs sont colinéaires et que aucun des deux n'est le vecteur nul

pourquoi une telle erreur ?

parce que à la base tu n'as pas compris cette histoire de projection

on projette un vecteur sur le support de l'autre
et pas sur n'importe quelle droite au hasard comme ça nous chante

le mieux pour éviter ce genre d'erreurs est de ne jamais rien projeter du tout, source d'erreurs absurdes si on ne sait pas le faire correctement, mais d'utiliser exclusivement des décompositions par Chasles.
par exemple
BI.AJ = (BF+FI).(AE+EJ)
de développer et de calculer sérieusement chacun des produits scalaire qui en résulte

J'ai donc pour la 1.

(BI.AJ)=(BF+FI).(AE+EJ)
               =BF.AE + BF.EJ + FI.AE + FI.EJ
                = BF^2 - FI.EJ

Est-ce correct ?

Pour la question 2. J'ai :

BI.DJ = (BF+FI).(DA+AK+KJ)
             = BF.DA + BF.AK + BF.KJ + FI.DA + FI.AK + FI.KJ

            = KJ^2 - FI.AK

Je ne sais pas comment faire pour trouver le résultat de la question

La 1

tel que c'est écrit c'est faux
si tu mélanges des vecteurs et des longueurs (leur norme) comment peut on lire ce que tu écris ??
le produit scalaire et son développement c'est des vecteurs , OK
la dernière ligne , c'est écrit pareil , donc ce serait des vecteurs aussi ? c'est faux
en longueurs c'est vrai
tu aurais ou écrire la dernière ligne = |BF|^2 - |FI|.|EJ|
tout écrire en vecteurs et | | pour les normes, par exemple (à défaut de savoir mettre des flèches ici

mais ce n'est pas terminé !
si tu appelles c la mesure de l'arête des cubes, ça fait combien cette expression ?

même chose pour la 2