Niveau Reprise d'études

Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive

Posté par
Milka3 11-02-23 à 16:13

Bonjour,
je dois montrer que si $M\in S_n^++$ alors $\phi(X,Y)=^tXMY$ est un produit scalaire.

La bilinéarité est directe.
Je bloque sur la symétrie : faut-il faire le calcul matriciel ?
Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive 11-02-23 à 16:44

Bonjour,

ce serait dommage de ne pas exploiter les propriétés de la transposée. En particulier

$^t \left( AB \right) = ... ?$

puis, en utilisant l'associativité de la multiplication matricielle, on peut voir ce que donne la transposée d'un produit de trois matrices .

Bonne journée.

Posté par re : Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive 11-02-23 à 23:18

Bonsoir,
Et surtout le fait que $M$ est symétrique ...

Posté par re : Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive 12-02-23 à 13:03

Bonjour,

Merci du conseil. Cela fonctionne, mais il faut écrire les choses !
Pouvez-vous me conseillez pour montrer que $\phi(X,X)\ge 0$ ?

Sauf erreur, j'obtiens : $^tXMX=\sum_{i,j}m_{ij}x_ix_j$ , est-ce une erreur de ma part ?

Encore merci de vos conseils

Posté par re : Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive 12-02-23 à 14:20

M n'est pas n'importe quelle matrice, mais une matrice symétrique définie positive

Posté par re : Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive 12-02-23 à 14:59

Merci, je viens de comprendre. On s'en sort bien avec le th. spectral

Posté par re : Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive 12-02-23 à 15:25

Finalement, je n'ai pas tout à fait terminé.
On me demande pour finir de montrer qu'alors il existe une BON tq. $^tPMP=I_n$ où $P\in GL_n(\mathbb{R})$ .

Une piste ?
Merci d'avance

Posté par re : Produit scalaire à partir d'une matrice définie positive 12-02-23 à 17:38

Il n'y a pas besoin du théorème spectral pour démontrer que $\phi(X,X)>0$ pour tout $X\neq 0$ . C'est pour moi la définition d'une matrice symétrique définie positive. Quelle est la définition qui t'es donnée ?
Par contre, le théorème spectral peut servir pour la demande finale. Quoique ta façon de formuler cette demande n'est pas claire : quel rapport entre la BON et $P$ ??
Peux-tu rappeler ce que dit le théorème spectral ?
En fait, on n'a pas besoin ici non plus du théorème spectral : la décomposition en carrés de Gauss suffit.