Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. PremièreForum de première Trigonométrie et fonctions trigonométriquesTopics traitant de trigonométrie et fonctions trigonométriques [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau première
Partager :

Produit Scalaire!! Au secours

Posté par amateuriste (invité) 23-12-04 à 21:40

I
1) démontrer que pour tout x reel
8sinx.cosx.cos2x.cos4x = sin8x

2) En déduire la valeur exacte de
a°) Cospi / 7 . cos2pi/7 . cos4pi/7
b°) Cospi / 9 . cos2pi/9 . cos4pi/9

II ABC est un triangle. On note a = BC; b = AC ; c = AB et 2p = a + b + c
démontrer que l'aire A du triangle est égale à racine carré de (p(p-a)(p-b)(p-c))

III ABC est un triangle. On note a = BC ; b = AC ; c = AD.
Déterminer et construire l'ensemble E des pts M du plan tels que : MA² + MB² + MC² = a² + b² + c².

Merci d'avance

Posté par DivXworld (invité)re : Produit Scalaire!! Au secours 23-12-04 à 21:46

I-1)tu sais que sin(2x)=2sin(x)cos(x)
donc sin(8x)=2sin(4x)cos(4x)
                =4sin(2x)cos(2x)cos(4x)
                =8sin(x)cos(x)cos(2x)cos(4x)

  2)il faut juste appliquer la formule ci-dessus

pour le reste mes souvenirs sont trop lointains lol, dsl

Posté par amateuriste (invité)Merci 23-12-04 à 22:24

Merci beaucoup pour ton aide DivXworld.

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 23-12-04 à 22:54

Bonjour

Voici pour la II ( attention c'est peut-être un peu long )

Alors je vais commencer par le commencement :

----------------------
Produit Scalaire!! Au secours

Tout dabord rappelons une petite formule :
\blue Aire=\frac{Base\times hauteur}{2}

On a :
sin(C)=\frac{h}{a}
donc :
h=a.sin(C) .
On obtient alors une nouvelle formule pour calculer l'aire du triangle :
Aire=\frac{1}{2}ab.sin(C)

Si on note S l'aire du triangle on obtient alors en permutant les notations :
\begin{tabular}S&=&\frac{1}{2}ab.sin(C)\\&=&\frac{1}{2}bc.sin(A)\\&=&\frac{1}{2}ac.sin(B)\end{tabular}
Et si l'on divise tout par \frac{abc}{2} :
2$\green\fbox{\frac{sin(C)}{c}=\frac{sin(A)}{a}=\frac{sin(B)}{b}}

Cette dernière relation va nous permettre de calculer l'aire d'un triangle connaissant la longueur d'un côté et les mesures de ses deux angles adjacents.

En effet , on en déduit que :
\frac{sin(B).sin(C)}{bc}=\frac{sin^{2}(A)}{a^{2}}
d'où :
bc=\frac{a^{2}.sin(B).sin(C)}{sin^{2}(A)}

et puisque :S=\frac{1}{2}bc.sin(A) on en déduit :
2$\red\fbox{S=\frac{a^{2}.sin(B).sin(C)}{2.sin(A)}}

--------------------

Avant d'en venir a la démonstration de la formule de Héron ( celle qui est demandé dans ton exercice) je vais faire un petit rappel sur le théoréme d'Al kashi

Démonstration à l'aide des produis scalaires :
Produit Scalaire!! Au secours

\begin{tabular}\vec{BC}^{2}&=&(\vec{AC}-\vec{AB})^{2}\\&=&\vec{AC}^{2}-2\vec{AC}.\vec{AB}+\vec{AB}^{2}\\&=&\vec{AC}^{2}-2\|AC|.|AB|.cos(A)\end{tabular}
soit :
2$\black\fbox{a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos(A)}

--------------------

Bien , attaquons nous a la formule de héron :

Du théoréme d'Al Kashi on obtient :
cos(A)=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} et de la relation (1) : sin(A)=\frac{2S}{bc}

La relation : cos^{2}(A)+sin^{2}(A)=1 s'écrit alors :
\(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)^{2}+\frac{4S^{2}}{b^{2}c^{2}}=1

On obtient alors :
\begin{tabular}16S^{2}&=&4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}\\&=&(2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2})(2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2})\\&=&[(b+c)^{2}-a^{2}]\times[a^{2}-(b-c)^{2}]\\&=&(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\end{tabular}

Puisque les nombres a, b et c sont les longueurs d'un triangle, ils vérifient les inégalités
a < b + c, b < a + c, c < b + a et par suite le second membre de l'égalité est positif.
De plus b + c - a = (b + c + a) - 2a = 2(p - a) en appelant p le demi-périmètre du triangle.

On obtient alors :
4S=\sqrt{2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)}

Ce qui nous donne magiquement la formule de Héron :
4$\blue\fbox{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Voili Voilou c'est fini

J'espere que tu as réussi à tout comprendre


Jord

Posté par amateuriste (invité)Merci beaucoup Nightmare 24-12-04 à 00:54

Merci beaucoup Nightmare...pour la rédaction et le temps que tu as passé dans la rédaction. j'ai compris et je passerais du temps dans la correction pour mieux comprendre. Merci Encore

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 01:45

Pas de probléme amateuriste

Je précise juste que pour l'exercice , je ne pense pas que tu aie besoin de tout recopier , fais une synthése générale . Par exemple pas besoin ( à moin que tu veuilles impressioner le prof ) de démontrer le théoréme d'al kashi ou le théoréme des Sinus ( je ne sais plus vraiment comment il s'appelle ) . Dire que tu les utilises et cité leur expression générale suffira emplement . Enfin maintenant , tout dépend de toi .
Remarque , on aurait pu aussi démontrer la formule de l'aire d'un triangle :
Aire=\frac{base\times hauteur}{2} ce qui n'est relativement pas dur :

Produit Scalaire!! Au secours

On a : Aire_{ABC}=Aire_{AHC}+Aire_{HCB}

Or , Aire_{AHC}=\frac{AH\times HC}{2} et Aire_{HCB}=\frac{BH\times HC}{2}
Donc :
\begin{tabular}Aire_{ABC}&=&\frac{AH\times HC}{2}+\frac{BH\times HC}{2}\\&=&\frac{AH\times HC+BH\times HC}{2}\\&=&\frac{HC(AH+BH)}{2}\\&=&\fbox{\frac{HC\times AB}{2}}\end{tabular}

Bon au préalable il aurait fallu démontrer la formule de l'aire d'un triangle rectangle mais la ça reléve du niveau 4éme . enfin , allons y :
Produit Scalaire!! Au secours:
Aire_{ABC}=Aire_{ABCD}\times\frac{1}{2}
soit :
Aire_{ABC}=\frac{1}{2}(a\times b)

Mais bon la encore ..... BOn daccord je m'arréte

Bon , tout ça pour dire que tu peux ommettre ces démonstrations , ne fais pas comme moi


Jord

Posté par Emma (invité)re : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 10:45

... Mais au fait... Dis, Nightmare...
Comment tu démontres que l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa largeur par sa longueur ?

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 12:19

hum a vrai dire j'y ai pensé Emma mais c'est vrai que j'avou ne pas pouvoir y apporter une réponse concréte ... Nous avons bien la petite explication du professeur de 5éme qui nous dit que dans un carré de 5 cm de côté on peut rentrer 25 petit carré de 1 cm de côté donc son aire est 25 mais .... j'en reste pas forcémment convaincu .

Considérons ça comme un axiome


Jord

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 12:22

Bonjour,

Juste pour informations le théorème des sinus s'appelle en faite Loi des sinus Nightmare (je le sais suis en plein dedans...)

A plus

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 12:24

Ah Merci clemclem t'es un chef

Enfin , du moment que j'ai réussi a le démontrer , je peux lui donner le nom que je veux pour la suite de l'exo


Jord

Posté par amateuriste (invité)Merci encore Nightmare 24-12-04 à 13:05

Je voudrais te remercier  Nightmare pour l' aide que tu m'apportes.
j'ai fait un petit résumé de tte ta démonstration mais je n'ai juste pris que l'essentiel.

Posté par amateuriste (invité)Pour l exo 3 24-12-04 à 13:14

Je suis un peu perdu Nightmare. Je sais pas s'il faut pas faire intervenir le barycentre.. Est ce que tu ne pourrais pas m'aiguiller sur ce sujet stp?

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 13:39

Hum je ne pense pas qu'il faille faire intérvenir cette notion ... Mais qui sait , tu peux toujours trouver une autre démonstration à l'aide de celle-ci


Jord

Posté par amateuriste (invité)re Nightmare 24-12-04 à 14:14

Re slt,

voici ce que je propose.
On sait que a = BC b = AC et c = AD
Danc si on remplace a b c on obtient
MA² + MB² + MC² = BC² + AC² + AD²
MA² + MB² + MC² = (MB + MC)² + (MA + MC)² + (MA + MD)².
Mais après je bloque...

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 14:24

Ahhh , je ne savais aps que tu me parlais de l'exercice 3) ! Je croyais que tu me parlais du 2) moi

en effet avec le 3) tu risques bien de faire intervenir les barycentes , du moin on est sur de toucher aux égalités vectorielles


Jord

Posté par amateuriste (invité)Slt Nightmare 24-12-04 à 14:35

Je voudrais savoir si mon raisonnement est exacte stp mais je bloque. Est ce qtu ne pourais pas plus m'aiguiller sur ce sujet stp??
Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 14:46

Bonjour

Je n'ai pas encore vraiment approfondi mon étude des barycentres mais essayes de poser G le barycentre de ton triangle et de décomposer tes vecteurs en fonction de celui-ci

En effet , MA^{2}=\vec{MA}^{2}=(\vec{MG}+\vec{GA})^{2}

tu devrais pouvoir arriver à quelque chose de concret


Jord

Posté par
Victorre : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 14:58

Première remarque : il y a une erreur dans ton énoncé, on a en fait : c=AB et non pas AD. Il n'y a pas de point D dans l'énoncé.

Deuxième remarque : l'idée de Nightmare peut te permettre d'aboutir au résultat. Soit G l'isobarycentre de A, B et C, c'est à dire le centre de gravité du triangle.
En décomposant MA², MB² et MC² comme te l'a indiqué Nightmare, on obtient :
3MG²=a²+b²+c²-GA²-GB²-GC²

A poursuivre...

Posté par amateuriste (invité)merci Victor 24-12-04 à 15:17

c'est le résultat que j'ai justement obtenu.

Posté par amateuriste (invité)ptite question 24-12-04 à 15:18

est ce qu'il faut faire intervenir un barycentre aussi pour a b et c??

Posté par
Victorre : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 15:29

Pas forcément, a²+b²+c²-GA²-GB²-GC² est une constante.

Posté par amateuriste (invité)re Victor 24-12-04 à 16:25

Victor je pense avoir trouvé la réponse à la question.
Je te présente mon résonnement:
j'ai décomposé a b et c en fonction de G et j'obbtient
3MG²= 2 AG² + 2 GC² - GA² - GB² - GC²
3MG²= - 3 GA² + GC - GB²
MG² = - GA² + GC² - GB²
MG = - GA + GC - GB
H BARYCENTRE DE (A,-1) (b,-1) (c,1)
d'apres la propriétée fondamentale
MG = - GH
Est ce que tu pourrais voir si mon résonnement est excte et ainsi mon résultat obtenue. STP et En faite bonne veille de fete de noel.

Posté par
Victorre : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 17:16

Le gros problème est ta dernière étape :
Si MG² = - GA² + GC² - GB², on n'a pas
MG = - GA + GC - GB
C'est complètement faux !
J'aurais préféré te dire que tout était juste pour que tu passes un bon réveillon mais il faudra encore faire quelques efforts.

Posté par amateuriste (invité)re Nightmare 24-12-04 à 17:38

Salut Nightmare. Pourrais tu me donner un coup de pouce pour trouver l'ensemble de définition de
MG²= -GA² + GC² - GB² Stp
En faite bonne veille de fete de noel et merci d'avance.

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 24-12-04 à 17:40

Lol voyons amateuriste , un petit effort On t'a donné beaucoup de piste la , tu devrais y arriver tout seul !


Jord

Posté par amateuriste (invité)Excuse moi Nightmare 24-12-04 à 17:48

je vous remercie pour vos indication.
Pour réuddir je vais un peu réfléchir. Bonne vacance de noel et à la prochaine j'espere..

Posté par amateuriste (invité)P tite Question 25-12-04 à 18:45

Bonjour,

Je voudrais juste vous demander si le cos de pi/9 et de pi/7 est = à 1 oui ou non?
Et ainsi je bloque tjrs pour trouver l'ensemble E de définition de MG² = - GA² + GC² - GB².
Est ce que ça serait possible que vous m'aiguiller sur ce probleme?
Merci d'avance et Bonne fete de Noël

Posté par amateuriste (invité)re : Produit Scalaire!! Au secours 25-12-04 à 18:51

Posté par amateuriste (invité)Le problème 25-12-04 à 19:01

En faite , je n'arrive pas à trouver son ensemble car ce sont les carrés qui me gene et  alors je ne peux pas utiliser la propriété fondamentale sur le barycentre et c'est comme cela que mon prof nous a appris.. Alors je ne vois pas comment résoudre cela? mais??

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 25-12-04 à 19:27

Bonjour

Ni de \cos\(\frac{\pi}{9}\) ou de \cos\(\frac{\pi}{7}\) n'est égal à 1


Jord

Posté par amateuriste (invité)re Nightmare 25-12-04 à 19:53

Bonjour nightmare,

J'ai dit cela car en tapant dans ma calculatrice ces données je trouve 1. Mais alors à quoi est égale le cos de chacun de ces 2 termes stp?
Merci d'avance et bonne fete de Noel

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 25-12-04 à 20:00

Re

Je n'ai pas de valeur exacte à te donner , ma calculette n'en donne pas . tout ce que je sais c'est que tu as peut etre mis ta calculette en degré pour trouver 1 (\cos\(\frac{\pi}{9}deg\)\approx 0,99...\approx 1 )


jord

Posté par amateuriste (invité)Re Nightmare 25-12-04 à 22:19

Ne peux tu pas m'aiguiller sur l'ensemble de définition stp car je bloque vraiment. est ce qu'il faut utiliser le barycentre encore ou le produit scalaire..
Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 25-12-04 à 22:22

Dsl mais je ne peux vraiment pas t'aider , je te l'ai dit je n'ai pas encore approfondie mon étude sur les produits scalaire et je ne préfére pas dire des choses qui pourraient te mener à une mauvaise conclusion donc attendons l'avis d'un expert


Jord

Posté par amateuriste (invité)Merci 25-12-04 à 22:24

Effectivement ma claculatrice était en ° mais je l'ai mis en radian et j'obtiens des valeurs correct.
Merci encore

Posté par amateuriste (invité)Questions?? 26-12-04 à 14:59

Bonjour,

Est ce que vous pouvez m'aider afin de trouver l'ensemble de définition?SVP
Bonne vac et @ +

Posté par
siOkre : Produit Scalaire!! Au secours 26-12-04 à 20:07

Bonjour


=> Nigthmare

Il y a un petit "truandage" dans ta démonstration de l'aire du triangle ... assez classique en collège
Produit Scalaire!! Au secours

Tu lis un renseignment sur la figure sans le dire ... donc tu ne traite qu'un des cas.
Et si la hauteur est extérieure au segment ? Ilk ne faut plus additionner les aires mais en soustraire deux !

De plus, même si tu discutes plusieurs cas, comment prouver qu'il n'existe pas d'autres cas ?

Bon à un niveau de géométrie élémentaire ... on laisse courir (mais il vaudrait mieux bien dire aux élèves quand on "truande").



Ce qui pose problème, c'est la discussion des cas pour additionner les aires. Cette difficulté se retrouve dans d'autres notions:
- les longueurs de segment ... d'où l'intérêt des "segments orientés" qui débouche sur les mesures algébriques
- les angles géométriques ... d'où l'intérêt des angles orientés
- les aires ... d'où l'idée d'introduire des aires "algébriques"

Posté par
Nightmarere : Produit Scalaire!! Au secours 26-12-04 à 20:31

Oui en effet siOk c'est vrai que je n'ai pas traité tout les cas . Mais toute façon si l'on veut une démonstration solide , rien de mieux que de construire un rectangle circonscrit au triangle . enfin , on la connait tous


jord

Posté par amateuriste (invité)y a t il un expert pour le produit scalaire?svp 26-12-04 à 20:43

re bonjour,,
je bloque tjrs pour trouver et représenter l'ensemble de définition de MG²= -GA² + GC² - GB² .
Je ne sais pas quoi faire après cela. Pouvez vous m'aiguiller sur ce sujet?svp

Posté par Emma (invité)re : Produit Scalaire!! Au secours 26-12-04 à 20:49

Salut amateuriste

Je n'ai pas le courage de tout relire (et je n'aurais d'ailleurs même peut-être pas le temps de te répondre ce soir, mais bon...)

Je ne comprends pas trop ta question ... De quel ensemble de définition s'agit-t-il ?

Pourrais-tu me donner la question exacte de ton énoncé, s'il te plaît ?

Merci

Posté par
siOkre : Produit Scalaire!! Au secours 26-12-04 à 20:52

=> amateuriste

Si le second membre est positif, l'ensemble cherché est le cercle de centre G et de rayon racine(-GA²+GC²-GB²)



=> Nigthmare
Tu est sur qu'avec les rectangles, tu ne fais aucune lecture sur la figure ? Comment savoir si il faut ajouter ou soustraire les aires des deux rectangles sans "regarder" le dessin ?

Posté par amateuriste (invité)Voici l ennonce et mon resonnement Emma 26-12-04 à 20:55

III ABC est un triangle. On note a = BC ; b = AC ; c = AD.
Déterminer et construire l'ensemble E des pts M du plan tels que : MA² + MB² + MC² = a² + b² + c².
Je te présente mon résonnement:
j'ai décomposé a b et c en fonction de G et j'obtient
3MG²= 2 AG² + 2 GC² - GA² - GB² - GC²
3MG²= - 3 GA² + GC - GB²
MG² = - GA² + GC² - GB²
et on sait que 3MG²= a² + b² + c² - GA² - GB² - GC²
Merci d'avance Emma.

Posté par amateuriste (invité)Merci siok 26-12-04 à 20:59

Merci siOk , mais comment pourrais je placer le pt G du plan et le cercle de Rayon (-GA²+GC²-GB²)
Merci et bonne vacance

Posté par Emma (invité)re : Produit Scalaire!! Au secours 26-12-04 à 21:00

Et bien, en effet, amateuriste...
siOk te l'as dit :

Tu as justifié que MG² = - GA² + GC² - GB²

Mais - GA² + GC² - GB² est un nombre réel fixe (et positif... à vérifier quand même)...
Notons-le r :
r = - GA² + GC² - GB²

Alors tu cherches l'ensemble des points M tels que GM² = r
c'est-à-dire tels que GM = r

C'est bel et bien la définition du cercle de centre G et de rayon r...

@+

Emma

Posté par amateuriste (invité)Merci bcp Emma 26-12-04 à 21:07

Je vous remercie tous pour votre aide et ainsi tte l'equipe d'iledemaths.
Passer de tres bonne vacance de Noel et @ la prochaine

Posté par franckayak (invité)heu probleme 03-01-05 à 19:11

je crois que r = -GA² -GB² -GC²
il y a toujours de l'aide sur se topic .?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !