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Produit Scalaire BAC BLANC

Posté par
Pierre1010
29-12-20 à 22:07

Bonjour à tous et toutes,
j'espère que vous allez bien,
Aujourd'hui j'ai une toute petite question concernant sur un exercice où je me prépare au jour du bac blanc qui arrivera en janvier.

Nous avons ABCDEFGH est un cube de côté a. Le point I est le centre de la face DCGH et J est le milieu du segment [AD].

1) Exprimer les vecteurs AI et BJ en fonction des vecteurs AB , AD et AE .
2)a.) Calculer le produit scalaire AI.BJ
b) Que peut-on en déduire pour les droites (AI) et (BJ) ?

Alors tout d'abord, ce que j'ai fait,
1) AI = AD+DH+HI
     AI =  AD + AE + AB

BJ = BA + AJ
BJ = -AB + 1/2 AD + 0AE ou BJ = -AB+ 1/2 AD

2) AI.BJ = AD+AE+AB-AB+1/2 AD
      AI.BJ = AD + AE + 1/2 AD

C'est à partir de là que je suis clairement bloqué, j'ai pensé juste une factorisation mais je ne parviens pas à le résoudre ... Quels seront les conseils que vous me conseilleriez s'il vous plaît et merci.

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 29-12-20 à 22:23

Bonsoir,
1) Ton résultat pour AI me paraît inexact, car les  vecteurs HI et AB ne sont pas égaux.

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 29-12-20 à 22:34

Ahh j'ai vu flou, j'étais parti vite.
alors je pense trouvé
AI = 1/2 AD - AB - 1/2 AE

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 09:03

Non, ce n'est encore pas juste.
Montre comment tu fais le calcul.

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 10:41

Je fais
AI = AJ+JI
AI = AD - EA + 1/2 AB + 1/2 EA ?
Après je ne trouve aucune solution pour déterminer AI

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 10:43

Je rectifie,
AI = AJ+JI
AI = AD + AE +1/2 AB -1/2 AE

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 14:23

Exact (l'expression peut être réduite).

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 14:43

AI = AD+ 1/2 AB + (je ne sais pas y réduit pour AE) aidez moi svp

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 14:54

AE - 1/2 AE = AE(1 - 1/2) = 1/2 AE .

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 16:46

Merci, mais je ne parviens pas résoudre le produit scalaire en utilisant la relation de Chasles de (AI.BJ) après l'avoir développé.

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 30-12-20 à 17:56

Dans le produit scalaire AI.BJ, remplace ces deux vecteurs par leurs expressions telles que tu viens de les déterminer, puis développe.

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 00:15

Merci, du coup lorsque je les développe je constate que je dois utiliser l'orthogonalité et la colinéarité entre d'autres. Donc,
AI.BJ = (AD+1/2+1/2 AE).(-AB+1/2 AD)
AD. -AB - AB. 1/2 AB - AB. 1/2 AE + 1/2 AD.AD + 1/2 AD. 1/2 AB+ 1/2 AD.1/2 AE
Ensuite il y a une orthogonalité donc,
0-AB.1/2 AB - 0 +1/2 AD.AD +0 + 0
Ensuite, je ne sais pas qu'est ce que je dois utiliser quand je repère la colinéarité.$

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 09:11

Que peux-tu dire de AB et AD (regarde la figure) ?

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 13:41

Je peux dire que AB et AD sont orthogonaux car ils sont perpendiculaires donc j'en conclue que le produit scalaire  AI.BJ = 0 qui signifie qu'ils sont orthogonaux ?

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 13:58

La dernière expression du produit scalaire AI.BJ peut s'écrire   - 1/2 AB² + 1/2 AD² .
Or, les vecteurs AB et AD ont même norme.
D'où  AI.BJ = . . .  

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 14:55

AI.BJ = 1/2(BA+AD)²
soit AI.BJ = 1/2(BD)²

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 15:15

Si AB et AD ont même norme, AB² et AD² ne sont-ils pas égaux ?

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 15:30

Elles sont égaux

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 15:39

Oui. Donc AI.BJ = . . .

Posté par
Pierre1010
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 16:04

AI.BJ = AB²+AD² ?

Posté par
Priam
re : Produit Scalaire BAC BLANC 31-12-20 à 16:40

Ce n'est pas AB² + AD² , mais  1/2 (AD² - AB²) (cf 13h58).



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