Soit BOD un triangle isocèle en O. on pose OB=OD=R
Soit (C) l'ensemble des points M du plan telles que : (MB) ⃗.(2(OM) ⃗-(BM) ⃗ )=0
Démontrer que (C) est un cercle de centre O et de rayon R.
Soit F un point de [BD] différent des extrémités et du milieu de [BD]. La perpendiculaire à (BD) passant par F coupe (C) en A et C. soit G l'isobarycentre des points A,B,C et D. soit M le milieu de [AB] et N milieu de [CD].
montrer que G est le milieu de [MN].
Montrer que G est le milieu de [OF].
En expriment (FM) ⃗ de deux manières différentes, montrer que :
〖FA〗^2+〖FC〗^2=2〖FM〗^2+1/2 〖AC〗^2, en déduire que
〖FA〗^2+〖FB〗^2+〖FC〗^2+〖FD〗^2=2(〖FN〗^2+〖FM〗^2)+1/2(〖AC〗^2+〖BD〗^2), puis montrer que
〖FA〗^2+〖FB〗^2+〖FC〗^2+〖FD〗^2=4R^2
soit I,J,K,L les milieux respectifs de [AB],[DC],[BC] et [AD]. (IF) coupe (CD) en Q, (KF) coupe (AD) en R, (JF) coupe (AB) en P, (LF) coupe (BC) en S.
Démontrer que la médiane (IF) du triangle AFD est la hauteur du triangle CFD.
Démontrer que ILJK est un rectangle
Démontrer que G est le milieu de [IJ] et de [LK]
Démontrer que I,J,L,Q,R,S,P appartiennent au cercle (C')  de centre G.
Démontrer que le rayon de (C') est 1/2 √(2R^2-〖OF〗^2 )