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Produit Scalaire (Calcul)

Posté par Isatia (invité) 19-04-05 à 11:14

Sur un quart de cercle de rayon 1, on considère le point C tel que OAC est un triangle équilatéral

B    
            C




O           I           A

On a I milieu de [AO] et AO est un rayon du cercle donc AO=OB=AC=CO (voir schéma ci-dessus)

1° Calculer AC.AO et AC.OB

2° Calculer AC.AB de deux façons différentes et en déduire la valeur exacte de cos /12

Posté par
lyonnaisre : Produit Scalaire (Calcul) 19-04-05 à 11:35

salut Isatia :

1°) \vec{AC}.\vec{AO} = \vec{AI}.\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{A0}.\vec{AO} = \frac{1}{2}

\vec{AC}.\vec{OB} = \vec{AI}.\vec{OB} = \vec{IO}.\vec{OB} = 0


2°) 1ère façon :

\vec{AC}.\vec{AB} = \vec{AC}.\vec{AO} = 1\time 1 \time cos(\frac{\pi}{3})= \frac{1}{2}


2ème façon :

\vec{AC}.\vec{AB} = \vec{AI}.\vec{AB} = \frac{1}{2}\time \sqrt{2} \time cos(\frac{\pi}{4})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

je te laisse en déduire la valeur exact de cos(\frac{\pi}{12})

@+
lyonnais

Posté par Isatia (invité)Produit Scalaire (calcul) 19-04-05 à 11:42

Je te remercie pour cette aide, c'est très gentil de ta part. a+ Isatia

Posté par
rene38re : Produit Scalaire (Calcul) 19-04-05 à 12:06

Bonjour
1°) \vec{AC}.\vec{AO}=\vec{AI}.\vec{AO}=AI\times{AO}=\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}
\vec{AC}.\vec{OB}=AC\times{OB}\times{cos(\vec{AC},\vec{OB})=1\times1\times\ cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt3}{2}

2°) \vec{AC}.\vec{AB}=AC\times{AB}\times{cos(\vec{AC},\vec{AB})=1\times{\sqrt2}\times\ cos{\frac{\pi}{12}}=\sqrt2}cos{\frac{\pi}{12}
\vec{AC}.\vec{AB}=\vec{AC}.(\vec{AO}+\vec{OB})=\vec{AC}.\vec{AO}+\vec{AC}.\vec{OB}
donc d'après 1°)
\vec{AC}.\vec{AB}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1+\sqrt3}{2}
d'où
\sqrt2cos{\frac{\pi}{12}=\frac{1+\sqrt3}{2}
et donc
cos{\frac{\pi}{12}=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}

Posté par
rene38re : Produit Scalaire (Calcul) 19-04-05 à 12:20

Petit détail : à la 2ème ligne du 1°), c'est cos(-\frac{\pi}{6} mais comme cos(-\frac{\pi}{6})=cos(\frac{\pi}{6} ...

Posté par
rene38re : Produit Scalaire (Calcul) 19-04-05 à 14:40

Remonte !

Posté par Isatia (invité)re : Produit Scalaire (Calcul) 19-04-05 à 15:43

Merci à vous Rene38


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