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Produit scalaire dans un rectangle
Bonjour,
Voici un exercice d'entrainement que je n'arrive pas à résoudre :
ABCD est un rectangle de longueur L et largeur l, soit H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sont les diagonales AC
1)calculer HK en fonction des longueurs de côtés L et l
2)comment choisir L et l pour avoir AC=2HK.
Et je sais que le projeté orthogonal H d'un point B est le point de (AC) tels que (AC) et (BH) soient perpendiculaire.
Mais je ne comprends toujour pas comment je peux résoudre ce problème.
Merci de bien vouloir m'aider
Bonjour,
avec des angles droits et un titre pareil on est incité à calculer des produits scalaires.
en particulier le produit scalaire \vec{AC}.\vec{HK}
en décomposant tout ça avec Chasles pour faire intervenir des vecteurs orthogonaux par construction de la figure
le vecteurs ne disparaissent pas d'un coup comme ça !! et le produit scalaire
n'est pas du tout égal à
ce n'est vrai que seulement si les vecteurs sont colinéaires, ce qu'ils ne sont visiblement pas.
de plus comme ça ne tient absolument pas compte de l'orthogonalité de BH et de HK (de AC) le résultat est "fatalement faux" : il serait valable quels que soient les points H et K n'importe où sur [AC] ce qui est absurde.
pour chercher le cheminement des vecteurs à décomposer il faut partir de la moitié du problème
c'est à dire par exemple chercher AH.AC = (AB+BH)AC = ... (tout en vecteurs, tout sera des vecteurs ici)
simplifier compte tenu de ce qui est orthogonal
et redécomposer ce qui reste pour faire encore intervenir l'orthogonalité (cette fois en B)
faire pareil avec CK et en déduire HK.AC (avec HK = HA + AC + CK)
comme ||AC|| on le connait et que HK.AC on vient de le calculer, ça donne ||HK|| car HK et AC sont colinéaires
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