Niveau première

produit scalaire : distance d un point a une droite

Posté par Baobab (invité) 05-03-05 à 20:30

Salut a tous, voila j'ai un petit probleme avec cet exercice :

Dans un repere orthonormal $(O;\vec{i};\vec{j})$ ,une droite $d$ a pour equation $ax+bx+c=0$ ,(a;b)≠(0;0)
A est un point de coordonnées $(\alpha;\beta)$ et $A'$ le projeté orthogonal de $A$ sur $d$ .
On se propose de calculer la distance $AA'$ en fonction de a,b,c,α et β.

1.le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées (a;b) est normal à d.
Démontrer que :

$|\vec{n}.\vec{AA'}|=||\vec{n}||*AA'=\sqrt{a^2+b^2}*AA'$

2.A' est un point de d. Si on note ses coordonnées (x;y), alors ax+by+c=0.
Calculez les coordonnées de $\vec{AA'}$ et démontrer que :

$|\vec{n}.\vec{AA'}|=|-a\alpha-b\beta-c|$ et $AA'=\frac{|a\alpha+b\beta+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Merci d'avance au personne qui pourrons m'aider.

Posté par N_comme_Nul (invité)re 05-03-05 à 22:07

Bonsoir !

Pour la question 1 :
--------------------
Utilise la formule "cosinusidienne" du produit scalaire :
$\vec{n}\cdot\vec{AA'}=||\vec{n}||\times||\vec{AA'}||\cos(\vec{n},\vec{AA'})$

Indication : les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{AA'}$ sont colinéaires donc le cosinus de l'angle orienté formé par ces deux vecteurs est égal à $0$ modulo $\pi$ ou bien encore à $0$ ou $\pi$ modulo $2\pi$ ce qui entraîne que le cosinus sera égal à plus ou moins $1$ .
Mais ce qu'il nous faut , c'est le module (la valeur absolue) de tout ça donc ça fera toujours $1$ .

Essaie avec ça .

_____________________
Je suis nul en maths.

Posté par N_comme_Nul (invité)re 05-03-05 à 22:18

reBonsoir !

Pour la question 2 :
--------------------
On sait que $|\vec{n}\cdot\vec{AA'}|=|ax-a\alpha+by-b\beta|$ .
Comme $ax+by=-c$ alors
$|\vec{n}\cdot\vec{AA'}|=|-c-a\alpha-b\beta|$
on a aussi :
$|\vec{n}\cdot\vec{AA'}|=|a\alpha+b\beta+c|$ (tant qu'à faire ...).
Mais on sait aussi que $|\vec{n}\cdot\vec{AA'}|=\sqrt{a^2+b^2}AA'$ .
On en déduit que
$AA'=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{AA'}|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
i.e.
$AA'=\frac{|a\alpha+b\beta+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Ca va mieux ?
_____________________
Je suis nul en maths.

Posté par Baobab (invité)produit scalaire : distance d un point a une droite 05-03-05 à 22:21

Merci beaucoup de ton aide N_comme_Nul, je compren ce ke tu veu dire ça me paraît plus clair maintenant.
Merci beaucoup
Salut N_comme_Nul.

Posté par N_comme_Nul (invité)re 05-03-05 à 22:23

reBonsoir !

De rien. Merci pour ton merci.

_____________________
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