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Niveau terminale
Produit scalaire - Distance minimale.
Posté par Seriza
Bonjour a tous,
L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k).
(P) est le plan d'équation: 3x+y-z-1=0
(D) est la droite dont une représentation paramétrique est
x= -t+1
y= 2t
z= -t+2
1. a) Le point C (1,3,2) appartient-il au plan (P)?
ce que j'ai fait:
(P) admet une équation du type ax+by+cz+d=0 avec a=3, b=1, z=-1 et d=-1) avec le vecteur n (a,b;c) donc 3x+y-z+d
Il faut montrer que les coordonnées de C vérifient l'équation: (on remplace x, y, z par les coordonnée de C)
3*1+3*1-1*2+d=0 donc d=-4
C n'appartient pas au plan (P) car ces coordonnées ne vérifient pas l'équation 3x+y-z+d=0.
b) Démontrer que la droit (D) est incluse dans le plan (P)
ce que j'ai pensé:
On pourrait remplacer, dans l'équation de P, x,y,z par -t+1, 2t, -t+2 mais je ne sais pas comment interpréter le résultat que je trouve soit 0.
2.(Q) est le plan passant par le point C et orthogonal a la droite (D).
a) Déterminer une équation cartésienne du plan (D)
ce que j'ai pensé à utiliser:
(D) est orthogonale au plan (Q), un vecteur directeur de (D) est donc un vecteur normal au plan (P) mais je n'ai rien de plus.
b) Calculer les coordonnées de I, point d'intersection du plan (Q) et de la droit (D).
ce que j'ai pensé à utiliser:
I est le point d'intersection du plan (Q) et de la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (Q) et de la représentation paramétrique de (D).
Dois-je faire un système?
c) Montrer que CI= 
3
Aucune idée, je n'ai pas encore vraiment réfléchie.
Doit-on utiliser la formule qui permet de calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé?
3. t est un nombre réel et M est le point de la droit (D) de coordonnée : (-t+1;2t;-t+2)
a) Vérifier que pour tout nombre réel t, CM=6t²-12+9
Aucune idée.
Doit-on utiliser le fait que si le vecteur u(x,y,z), alors: le vecteur u²=x²+y²+z²?
b) Montrer que CI est la valeur minimal de CM lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels.
Aucune idée.
Doit-on étudier les variations de la fonction : t
6t²-12+9
Merci de votre aide.
Seriza.
Citation :
1. a) Le point C (1,3,2) appartient-il au plan (P)?
ce que j'ai fait:
(P) admet une équation du type ax+by+cz+d=0 avec a=3, b=1, z=-1 et d=-1) avec le vecteur n (a,b;c) donc 3x+y-z+d
Il faut montrer que les coordonnées de C vérifient l'équation: (on remplace x, y, z par les coordonnée de C)
3*1+3*1-1*2+d=0 donc d=-4
C n'appartient pas au plan (P) car ces coordonnées ne vérifient pas l'équation 3x+y-z+d=0.
1. a) Le point C (1,3,2) appartient-il au plan (P)?
ce que j'ai fait:
(P) admet une équation du type ax+by+cz+d=0 avec a=3, b=1, z=-1 et d=-1) avec le vecteur n (a,b;c) donc 3x+y-z+d
Il faut montrer que les coordonnées de C vérifient l'équation: (on remplace x, y, z par les coordonnée de C)
3*1+3*1-1*2+d=0 donc d=-4
C n'appartient pas au plan (P) car ces coordonnées ne vérifient pas l'équation 3x+y-z+d=0.
Ta conclusion est correcte mais la rédaction n'est pas bonne
A la place de "Il faut montrer que les coordonnées de C vérifient l'équation" il faut plustôt dire :
"Il faut vérifier si les coordonnées de C vérifient l'équation"
"3*1+3*1-1*2+d=0 donc d=-4"
Malheureusement le signe "=" ne se conjugue pas comme les verbes que l'on utilise dans le langage ordinaire.
Ton premier signe "=" dans "3*1+3*1-1*2+d=0" pourrait se dire "si le point C appartenait au plan" et ton deuxième signe "=", dans "donc d=4" pourrait signifier "alors d serait égal à 4, ce qui n'est pas le cas". Ton approche n'est pas fausse, mais si tu y tiens, comme les signes mathématiques ne se conjugent pas, tu es obligé de faire une phrase en bon français :
Si le point appartenait au plan P alors l'égalité 3*1+3*1-1*2+d=0 aurait pour conséquence que d serait égal à 4, ce qui n'est pas le cas.
Cette formulation serait alors inattaquable, mais malgré tout bien maladroite.
Pourquoi ne pas dire beaucoup beaucoup plus simplement :
Si le point appartient au plan alors 3x+y-z-1=0. Vérifions-le
3x+y-z-1=3*1+3-2-1=3 et non 0 ! Donc le point n'appartient pas au plan P !
Citation :
b) Démontrer que la droit (D) est incluse dans le plan (P)
ce que j'ai pensé:
On pourrait remplacer, dans l'équation de P, x,y,z par -t+1, 2t, -t+2 mais je ne sais pas comment interpréter le résultat que je trouve soit 0.
b) Démontrer que la droit (D) est incluse dans le plan (P)
ce que j'ai pensé:
On pourrait remplacer, dans l'équation de P, x,y,z par -t+1, 2t, -t+2 mais je ne sais pas comment interpréter le résultat que je trouve soit 0.
Si tu trouves que l'équation du plan est vérifiée par tous les points de la droite (c'est à dire que quel que soit la valeur de t, ou quel que soit le point de D, il est dans le plan), alors cela veut bien dire que D appartient à P !
Citation :
2.(Q) est le plan passant par le point C et orthogonal a la droite (D).
a) Déterminer une équation cartésienne du plan (D)
ce que j'ai pensé à utiliser:
(D) est orthogonale au plan (Q), un vecteur directeur de (D) est donc un vecteur normal au plan (P) mais je n'ai rien de plus.
2.(Q) est le plan passant par le point C et orthogonal a la droite (D).
a) Déterminer une équation cartésienne du plan (D)
ce que j'ai pensé à utiliser:
(D) est orthogonale au plan (Q), un vecteur directeur de (D) est donc un vecteur normal au plan (P) mais je n'ai rien de plus.
Excellent !
Donc tu as un vecteur directeur de D : (-1,2,-1)
Et les plans d'équation (-1)*x+2*y+(-1)*z+d=0 sont les plans orthogonaux à la droite D. Reste à trouver celui d'entre eux qui contient C...
Merci, pour votre 1ere réponse. Mais pour le 2eme, je ne comprends pas ce que vous voulez dire par
Que dois-je faire concrètement? Que dois-je prouver?Citation :
Si tu trouves que l'équation du plan est vérifiée par tous les points de la droite (c'est à dire que quel que soit la valeur de t, ou quel que soit le point de D, il est dans le plan), alors cela veut bien dire que D appartient à P ![quote]Citation :
b) Calculer les coordonnées de I, point d'intersection du plan (Q) et de la droit (D).
ce que j'ai pensé à utiliser:
I est le point d'intersection du plan (Q) et de la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (Q) et de la représentation paramétrique de (D).
Dois-je faire un système?
b) Calculer les coordonnées de I, point d'intersection du plan (Q) et de la droit (D).
ce que j'ai pensé à utiliser:
I est le point d'intersection du plan (Q) et de la droite (D), ses coordonnées vérifient l'équation de (Q) et de la représentation paramétrique de (D).
Dois-je faire un système?
Le raisonnement est correct, mais quelle drôle de question !
Si tu as trouvé l'équation de Q : ax+by+cz+d=0 (donc tu connais les valeurs de a,b,c,d) il suffit de trouver quel point de la droite D appartient à Q, c'est à dire pour quelle valeur de t on a a(-t+1)+b(2t)+c(-t+2)+d=0. C'est une équation à une inconnue t : enfantin !
La question est bizarre parce que d'abord, il n'y a pas de système : un système c'est un ensemble de plusieurs équations à plusieurs inconnues ; deuxièmement "faire un système" ce n'est pas ton choix ! Si tu es en face d'un système, tu dois essayer de le résoudre, c'est à dire d'en trouver les solutions. Mais ce n'est jamais toi qui décide "je fais un système". Dans le cours de tes calculs, tu peux tomber sur un système et alors décider de le résoudre. D'ailleurs, "faire un système", cela ne veut pas dire grand'chose.
Soit un point quelconque de D : soit t le paramètre correspondant. Les coordonnées du point sont donc x=-t+1, y=2t et z=-t+2.
Je constate que 3x+y-z-1=3(-t+1)+(2t)-(-t+2)-1=0. Le point appartient donc au plan P.
Comme tous les points de de appartiennent à P, D est incluse dans P.
Il n'y a rien d'autre à dire !
Citation :
Doit-on utiliser la formule qui permet de calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé?
Doit-on utiliser la formule qui permet de calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé?
Evidemment, oui !
Citation :
a) Vérifier que pour tout nombre réel t, CM=6t²-12+9
Aucune idée.
a) Vérifier que pour tout nombre réel t, CM=6t²-12+9
Aucune idée.
Petit menteur ! Bien sûr que tu as une idée. A l'évidence tu connais la formule donnant la longueur d'un segment en fonction des coordonnées de ses extrémités.
Citation :
Doit-on utiliser le fait que si le vecteur u(x,y,z), alors: le vecteur u²=x²+y²+z²?
Doit-on utiliser le fait que si le vecteur u(x,y,z), alors: le vecteur u²=x²+y²+z²?
Désolé, cette phrase n'a aucun sens !
En tous cas u² n'est pas un vecteur, c'est un réel !
Citation :
b) Montrer que CI est la valeur minimal de CM lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels.
Aucune idée.
b) Montrer que CI est la valeur minimal de CM lorsque t décrit l'ensemble des nombres réels.
Aucune idée.
Petit menteur !
C'est évident ça ! La preuve : la question suivante "Doit-on étudier les variations de la fonction : t6t²-12+9"
La réponse est évidemment oui, à condition d'étudier les variations de la bonne fonction, pas de celle-là (t6t²-12+9) !
Je ne comprends pas ce que vous voulez dire par
Citation :
Reste à trouver celui d'entre eux qui contient C...
pour la question 2.a) Reste à trouver celui d'entre eux qui contient C...
En faisant varier d, on obtient différentes équations de plan :
(-1)*x+2*y+(-1)*z+1=0
(-1)*x+2*y+(-1)*z+2=0
(-1)*x+2*y+(-1)*z+3=0
(-1)*x+2*y+(-1)*z+4=0
etc...
Tous ces plans sont orthogonaux à D ; ils sont parallèles entre eux. Un seul d'entre eux contient C (1;3;2) :
celui pour lequel : (-1)*1+2*3+(-1)*2+d=0
Il est donc facile de trouver pour quelle valeur de d ceci est vrai, non ?
Eh oui ! Tout simplement !
Je te rappelle que ax+by+cz+d=0 est l'équation d'un plan. Cela veut dire deux choses :
1 - Tout point de coordonnées (x;y;z) tel que ax+by+cz+d=0 est un point du plan.
2 - Tout point de coordonnées (x;y;z) du plan est tel que ax+by+cz+d=0
Ces deux aspects sont importants. Le plan sépare les points de l'espace en trois zones :
a) l'ensemble des points tels que ax+by+cz+d > 0 ; c'est l'un des deux côtés du plan
b) l'ensemble des points tels que ax+by+cz+d < 0 ; c'est l'autre côté du plan
c) l'ensemble des points tels que ax+by+cz+d = 0 ; ce sont tous les points du plan et rien que ceux-là !
Donc si (-1)*1+2*3+(-1)*2+(-3)=0 cela signifie que le point (1;3;2) appartient au plan d'équation -x+2y-z-3=0
Et comme ce plan est orthogonal à D, le plan d'équation -x+2y-z-3=0 est l'unique plan qui soit orthogonal à D et qui passe par le point C.
Et donc maintenant pour
Citation :
Calculer les coordonnées de I, point d'intersection du plan (Q) et de la droit (D).
on fait -1(-t+1)+2(2t)-1(-t+2)-3=0 pour trouver t ?Calculer les coordonnées de I, point d'intersection du plan (Q) et de la droit (D).