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Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan

Posté par
Luj 05-05-22 à 16:47

Bonjour, je bloque sur un exercice et j'ai besoin d'aide...
Exercice :
Soient A et B deux points du plan tels que . On considère le milieu I du segment [AB].
1. Démontrer que, pour tout point M du plan, on a :
MA^2 - MB^2 = 2\vec{IM}\cdot \vec{AB}

2. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
MA^2 - MB^2 = 20  (E)

Pistes de résolution :
1. On pourra exploiter des décompositions vectorielles.
2. Considérer H le projeté orthogonal de M sur (AB)puis montrer que (E) équivaut à \vec{IH}\cdot \vec{AB}= 10.

Pour le 1, j'ai fais :
MA^2 - MB^2 \\ = (\vec{MA}+ \vec{MB})(\vec{MA} - \vec{MB}) \\ = (\vec{MI} + \vec{IA} + \vec{MI} + \vec{IB}) (\vec{MI}+\vec{IA}+\vec{BI}+\vec{IM}) \\ = 2 \vec{MI} \cdot (\vec{IA} + \vec{BI}) \\ = 2 \vec{MI} \cdot \vec{BA} \\ = 2 \vec{-IM} \cdot \vec{-AB} \\ = 2\vec{IM}\cdot \vec{AB} \\

Est-ce que c'est bon?

Pour le 2, j'ai considéré le projeté orthogonal H de M sur [AB] et donc que \vec{IM} \cdot \vec{AB} = \vec{IH} \cdot \vec{AB} = 10 , mais je ne sais pas comment aller plus loin... comment je peux déterminer l'ensemble de points avec ça?

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 16:54

bonjour,

on ne le voit pas dans ton énoncé, mais tu dois avoir la mesure de AB, non ?

Posté par
carpediemre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:15

salut

2/ tu n'as rien fait d'autre que de reprendre la piste qui t'est donnée ...

par contre la question est de savoir comment on en arrive à cette piste 2 !!

et la réponse est donnée par la piste 1 !!

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:27

Oui effectivement, AB = 5

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:31

si AB = 5,
alors   IH =  10/AB  =  ???
ne peux tu conclure ?

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:33

En fait j'ai pas compris comment procéder à la question 2,
On a \vec{IM} \cdot \vec{AB} = \vec{IH} \cdot \vec{AB} = (\vec{IH} + \vec{HM}) \cdot \vec {AB} ce qui signifie que   \vec{HM} = 0 , sauf que je ne sais comment on pourrait le mettre en relation avec \vec{IH} \cdot \vec{AB} = 10 , cela sert à quoi?

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:34

Ca donnerait que IH = 2, donc c'est un cercle de diamètre [IH] soit de de 2?

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:38

Enfin j'hésite entre les deux raisonnements puisque l'un signifierait que HM = 0 donc que l'ensemble des points M se trouverait sur le segment AB (mais on utilise pas la formule de la piste de résolution) et l'autre donne comme résultat \vec{IH} = 2, comment on peut interpréter ce résultat?

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:38

"c'est" un cercle de diametre IH ?
à quoi correspond "c'est"  ?
penses tu vraiment que  si M est n'importe ou sur ce cercle, alors IH sera egal à 2 ?

où dois tu placer M  pour que IH soit fixe et egal à 2 ?

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:43

une chose :  tu écris     \vec{IH} = 2,
c'est faux  ; tu ne peux pas écrire une égalité entre un vecteur et un réel.
soit tu écris   ||\vec{IH}|| = 2,
soit tu écris IH = 2

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:44

C'est bien là où je bloque, je n'arrive pas à répondre à ça,  même en essayant de faire un schéma

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:46

trace   AB, et place I, milieu de AB.
ensuite place H sur AB, tel que IH = 2
H est le projeté orthogonal de M sur AB  :   où peut etre M ?

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:48

J'ai le droit de passer directement de \vec{IH} \cdot \vec{AB} = 10 à  IH = 10 / AB   soit IH = 2   ?

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:50

Ah ! Sur la droite perpendiculaire à (AB) en H?

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 17:55

voilà !!  

reste  à savoir  si  H  est  près de B  ou près de A  ?

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 18:10

Luj @ 05-05-2022 à 17:48

J'ai le droit de passer directement de \vec{IH} \cdot \vec{AB} = 10 à  IH = 10 / AB   soit IH = 2   ?


tu passes de  
\vec{IM} \cdot \vec{AB}  =  10     à    IH *AB = 10  
(sans flèches !)
soit  IH = 10 / AB   soit IH = 2  

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 19:06

Leile
H est près de B car les vecteurs doivent aller dans le même sens pour que ce soit positif
Comment je peux le rédiger? Je ne peux pas seulement dire la droite perpendiculaire à (AB) en H tel que IH = 2 ?
Et une dernière question, c'est bon ce que j'ai fais pour la question 1?
En tout cas merci énormément pour votre aide, ça faisait longtemps que j'étais bloquée et je désespérais 😭

Posté par
Leilere : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 20:24

oui, H appartient au segment [IB], tel que IH=2.
l'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à (AB)  en H.

Pour la question 1, tu aboutis bien à ce qu'on te demande..  quel doute as tu ?  

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 05-05-22 à 22:32

D'accord, merci beaucoup !
Je voulais être sure qu'il n'y ait pas d'erreur dans les notations, ça me semblait curieux de pouvoir passer d'une longueur à un vecteur aussi simplement, parce que dans la consigne on nous donne bien MA^2 - MB^2 pas \vec{MA}^2 - \vec{MB}^2 , il ne faut pas justifier ce passage de longueur à vecteur?

Posté par
mathafou Moderateurre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 06-05-22 à 09:19

Bonjour,

quels que soient les vecteurs on a toujours \vec{AB}^2 = \vec{AB}\cdot\vec{AB} = AB^2
on peut donc remplacer l'un par l'autre comme ça nous arrange.

Posté par
carpediemre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 06-05-22 à 18:33

j'attendais pour (ré)intervenir mais j'en profite parce que ma remarque complète celle de mathafou :

2/ tu n'as toujours pas montré l'équivalence demandée et les égalités sont dans le désordre :

Luj @ 05-05-2022 à 17:33


On a \vec{IM} \cdot \vec{AB} =_{\red 1} (\vec{IH} + \vec{HM}) \cdot \vec {AB} =_{\red 2} \vec{IH} \cdot \vec{AB} ce qui signifie que   \vec{HM} = 0

l'égalité 1 est l'indication 1 : tout simplement la relation de Chasles

mais l'égalité 2 n'est pas justifiée ...

la justification est dans ton cours et elle justifie aussi ce que mathafou a écrit ...

indication  : développer ce produit scalaire ...

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 06-05-22 à 19:26

mathafou @ 06-05-2022 à 09:19

Bonjour,

quels que soient les vecteurs on a toujours \vec{AB}^2  = \vec{AB}\cdot\vec{AB} = AB^2
on peut donc remplacer l'un par l'autre comme ça nous arrange.

D'accord merci beaucoup !

Posté par
Lujre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 06-05-22 à 19:32

carpediem @ 06-05-2022 à 18:33

j'attendais pour (ré)intervenir mais j'en profite parce que ma remarque complète celle de mathafou :

2/ tu n'as toujours pas montré l'équivalence demandée et les égalités sont dans le désordre :
Luj @ 05-05-2022 à 17:33


On a \vec{IM} \cdot \vec{AB} =_{\red 1} (\vec{IH} + \vec{HM}) \cdot \vec {AB} =_{\red 2} \vec{IH} \cdot \vec{AB} ce qui signifie que   \vec{HM} = 0

l'égalité 1 est l'indication 1 : tout simplement la relation de Chasles

mais l'égalité 2 n'est pas justifiée ...

la justification est dans ton cours et elle justifie aussi ce que mathafou a écrit ...

indication  : développer ce produit scalaire ...


Par définition, on a :
\vec{IM} \cdot \vec{AB} = \vec{IH} \cdot \vec{AB} avec H le projeté orthogonal de M sur (AB)
soit : 2\vec{IM} \cdot \vec{AB} = 2\vec{IH} \cdot \vec{AB} = 20, puis on divise 20 par (2 x AB) pour trouver IH, ce n'est pas suffisant comme justification?

Posté par
carpediemre : Produit scalaire / Ensemble de points dans un plan 07-05-22 à 08:51

non ce n'est pas une définition c'est un théorème qui se démontre avec la relation de Chasles et les propriétés du produit scalaire dans deux cas particuliers :

si A, B et C sont alignés alors \vec {AB} \cdot \vec {AC} = ...

(et cela prouve aussi la propriété rappelée par mathafou)

si les vecteurs \vec {AB} $ et $ \vec {AC}  sont orthogonaux alors \vec {AB} \cdot \vec {AC} = ...

et ces deux résultats se déduisent de la première définition du produit scalaire (avec le cos)


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