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Produit scalaire et matrice symétrique

Posté par
Ramanujan 28-07-17 à 23:26

Bonsoir,

Soient X et Y 2 vecteurs colonnes de E.

Soit \phi un produit scalaire sur E et S la matrice de coefficients (\phi(e_i , e_j))

Justifier que pour tout vecteur x et y de E : (\phi(x,y))=~^tX S Y et que S appartient à S_n ^{++} (R) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de Mn(R)...

J'aimerais utiliser le produit matriciel avec les sommes mais j'arrive pas trop.

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 28-07-17 à 23:45

Bonsoir,

x=\sum_{i=1}^{n}x_ie_i;y=\sum_{j=1}^{n}y_je_j

Peut tu calculer: \phi \left ( x,y \right ) en fonction de \phi \left ( e_i,e_j \right ).

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 00:08

Razes @ 28-07-2017 à 23:45

Bonsoir,

x=\sum_{i=1}^{n}x_ie_i;y=\sum_{j=1}^{n}y_je_j

Peut tu calculer: \phi \left ( x,y \right ) en fonction de \phi \left ( e_i,e_j \right ).


Je réfléchis sur mon brouillon: je voulais partir de : ~^tX S Y en et montrer que c'est égal à phi(x,y) en utilisant les notations matricielles

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 01:50

Utilise la bilinéarité du produit scalaire

Posté par
luzakre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 09:47

Bonjour !
La méthode de Razes (que je salue) est la plus naturelle et la plus facile mais, effectivement, tu peux partir de X^TSY et arriver au résultat.

Soit a_{1,k} le coefficient de colonne k de la matrice ligne X^TS.
Tu as a_{1,k}=\sum_{1\leqslant j\leqslant n}x_j\Phi(e_j,e_k)=\Phi\Bigl(\sum_{1\leqslant j\leqslant n}x_je_j,e_k\Bigr)=\Phi(x,e_k).

Puis tu calcules le coefficient de ligne 1, colonne 1 de la matrice X^TSY par
\sum_{1\leqslant k\leqslant n}a_{1,k}y_k=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}\Phi(x,e_k)y_k=\Phi\Bigl(x,\sum_{1\leqslant k\leqslant n}y_ke_k\Bigr)=\Phi(x,y).

Il faut ajouter qu'on fait implicitement l'identification d'un réel et de l'unique coefficient d'une matrice une ligne, une colonne.

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 12:27

Bonjour  luzak,

Je voulais que Ramanujan profite de l'occasion pour revoir son cours (bilinéarité du produit scalaire ou linéarité à droite et à gauche)

Mais en tout cas les deux façons sont similaires.

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 16:05

Razes @ 28-07-2017 à 23:45

Bonsoir,

x=\sum_{i=1}^{n}x_ie_i;y=\sum_{j=1}^{n}y_je_j

Peut tu calculer: \phi \left ( x,y \right ) en fonction de \phi \left ( e_i,e_j \right ).


\phi \left ( x,y \right )= \phi \left (\sum_{i=1}^{n}x_ie_i ,\sum_{j=1}^{n}y_je_j \right )

Bon là je sais pas quoi faire trop de sommes

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 16:15

Exemple n = :

x= x_1 e_1 + x_2 e_2
y= y_1 e_1 + y_2 e_2

\phi(x,y)=\phi(x_1 e_1 + x_2 e_2 , y_1 e_1 + y_2 e_2) =  \phi(x_1 e_1,y_1 e_1 ) + \phi(x_1 e_1,y_1 e_1) + \phi( x_2 e_2, y_1 e_1) + \phi(x_2 e_2 , y_2 e_2)

COmment simplifier ?

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 16:25

Ramanujan @ 29-07-2017 à 16:15

Exemple n = :

x= x_1 e_1 + x_2 e_2
y= y_1 e_1 + y_2 e_2

\phi(x,y)=\phi(x_1 e_1 + x_2 e_2 , y_1 e_1 + y_2 e_2) =  \phi(x_1 e_1,y_1 e_1 ) + \phi(x_1 e_1,y_1 e_1) + \phi( x_2 e_2, y_1 e_1) + \phi(x_2 e_2 , y_2 e_2)

COmment simplifier ?
Du fait de la linéarité à droite et à gauche, tu peux sortir les x_i

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 16:30

Tu peux les faire pas à pas droite puis gauche en vérifiant que ceci correspond à ton cours (ça correspondra mais ceci pour que tu fasses le rapprochement entre les deux).

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 18:10

Donc ça me donne :

\phi \left ( x,y \right )= \sum_{i=1}^{n}x_i  \sum_{j=1}^{n}y_j \phi \left (e_i , e_j) \right

Ensuite ?

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 18:23

Je réarrange ça donne :

\phi \left ( x,y \right )= \sum_{i=1}^{n}x_i  \sum_{j=1}^{n}y_j \phi \left (e_i , e_j) \right

Donc :

\phi \left ( x,y \right )= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} x_i y_j \phi \left (e_i , e_j) \right

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 18:27

\phi \left ( x,y \right )= \sum_{i=1}^{n}x_i \sum_{j=1}^{n}y_j \phi \left (e_i , e_j)\right =\sum_{i=1;j=1}^{n}x_iy_j\phi \left (e_i , e_j)\right =\sum_{i=1;j=1}^{n} x_iy_j a_{i,j}

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 19:00

Razes @ 29-07-2017 à 18:27

\phi \left ( x,y \right )= \sum_{i=1}^{n}x_i \sum_{j=1}^{n}y_j \phi \left (e_i , e_j)\right =\sum_{i=1;j=1}^{n}x_iy_j\phi \left (e_i , e_j)\right =\sum_{i=1;j=1}^{n} x_iy_j a_{i,j}


Faut montrer que c'est égal à ~^X S Y ...

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 19:01

Razes @ 29-07-2017 à 18:27

\phi \left ( x,y \right )= \sum_{i=1}^{n}x_i \sum_{j=1}^{n}y_j \phi \left (e_i , e_j)\right =\sum_{i=1;j=1}^{n}x_iy_j\phi \left (e_i , e_j)\right =\sum_{i=1;j=1}^{n} x_iy_j a_{i,j}


Faut montrer que c'est égal à ~^X S Y ...

Faut montrer que ce qu'on a obtenu vaut : ~^tX S Y

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 19:09

luzak @ 29-07-2017 à 09:47

Bonjour !
La méthode de Razes (que je salue) est la plus naturelle et la plus facile mais, effectivement, tu peux partir de X^TSY et arriver au résultat.

Soit a_{1,k} le coefficient de colonne k de la matrice ligne X^TS.
Tu as a_{1,k}=\sum_{1\leqslant j\leqslant n}x_j\Phi(e_j,e_k)=\Phi\Bigl(\sum_{1\leqslant j\leqslant n}x_je_j,e_k\Bigr)=\Phi(x,e_k).

Puis tu calcules le coefficient de ligne 1, colonne 1 de la matrice X^TSY par
\sum_{1\leqslant k\leqslant n}a_{1,k}y_k=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}\Phi(x,e_k)y_k=\Phi\Bigl(x,\sum_{1\leqslant k\leqslant n}y_ke_k\Bigr)=\Phi(x,y).

Il faut ajouter qu'on fait implicitement l'identification d'un réel et de l'unique coefficient d'une matrice une ligne, une colonne.


Y a pas une expression générale du produit matricielle et pas que pour la kième colonne ?

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 19:10

Ça ne te dis rien cette expression: \sum_{i=1;j=1}^{n}  x_iy_j a_{i,j}

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 19:34

Razes @ 29-07-2017 à 19:10

Ça ne te dis rien cette expression: \sum_{i=1;j=1}^{n}  x_iy_j a_{i,j}


Non déjà j'aimerais calculer avec les sommes : ~^tX et après je multiplierai par Y.

On a : x = \sum_{i=1}^{n}  x_i e_i

Comment exprimer transposée de x avec la somme ?

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 19:59

^{t}x = ^{t}\left (\sum_{i=1}^{n} x_i e_i\right )=\sum_{i=1}^{n} x_i  ^{t}e_i

Il faut lire : ^{t}e_i

x=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{pmatrix};^{t}\textrm{x}=\left (x_1,x_2,..., x_n  \right )

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 20:10

Razes @ 29-07-2017 à 19:59

^{t}x = ^{t}\left (\sum_{i=1}^{n} x_i e_i\right )=\sum_{i=1}^{n} x_i  ^{t}e_i

Il faut lire : ^{t}e_i

x=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{pmatrix};^{t}\textrm{x}=\left (x_1,x_2,..., x_n  \right )


On peut pas simplifier le ^{t}e_i ? Par exemple : [tex]^{t}e_i = ej[/tex] car ça devient un vecteur ligne ....

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 20:20

C'est ce produit que je veux exprimer avec des sommes mais je comprends pas pourquoi c'est yj et  pas yi puisque Y est un vecteur colonne c'est le i qui varie ?

Produit scalaire et matrice symétrique

***image recadrée***

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 20:50

Le transposé d'un scalaire x_i ne veut rien dire.

^{t}x.y=\left (x_1,x_2,..., x_n \right ).\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ ...\\ y_n\end{pmatrix}=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} x_iy_j

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 21:00

Razes @ 29-07-2017 à 20:50

Le transposé d'un scalaire x_i ne veut rien dire.

^{t}x.y =\left (x_1,x_2,..., x_n \right ).\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ ...\\ y_n\end{pmatrix}=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n} x_iy_j


Bah pourquoi y a des i et j ? Je comprends pas votre notation

Pour moi ça fait : ^{t}x.y=\left (x_1,x_2,..., x_n \right ).\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ ...\\ y_n\end{pmatrix}= \sum_{k=0}^{n} x_k y_k

Sinon moi je veux exprimer : ^{t}X.S faut faire dans l'ordre je crois pour qu'à la fin on ait bien une matrice (1,1)

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 21:07

Je comprends pas votre somme avec les doubles indices ...

Et pourquoi i pour x et j pour y ?

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 21:11

Effectivement, c'est le même indice. L'inconvénient du copier/coller.

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 21:27

^{t}x.S=\left (x_1,x_2,..., x_n\right ).\begin{pmatrix}\phi (e_1,e_1) & \phi (e_1,e_2) & ... & \phi (e_1,e_n)\\ \phi (e_2,e_1) & \phi (e_2,e_2) & ... & \phi (e_2,e_n)\\  ... &...   &...   &...  \\ \phi (e_n,e_1) & \phi (e_n,e_2) & ... & \phi (e_n,e_n)\\ \end{pmatrix}=\left (\sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_1),\sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_2),..., \sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_n)\right )

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 29-07-17 à 22:12

Razes @ 29-07-2017 à 21:27

^{t}x.S=\left (x_1,x_2,..., x_n\right ).\begin{pmatrix}\phi (e_1,e_1) & \phi (e_1,e_2) & ... & \phi (e_1,e_n)\\ \phi (e_2,e_1) & \phi (e_2,e_2) & ... & \phi (e_2,e_n)\\  ... &...   &...   &...  \\ \phi (e_n,e_1) & \phi (e_n,e_2) & ... & \phi (e_n,e_n)\\ \end{pmatrix}=\left (\sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_1),\sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_2),..., \sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_n)\right )


Super clair je comprend enfin merci infiniment !

Donc : ^{t}x.S.y = \begin{pmatrix}\phi (e_1,e_1) & \phi (e_1,e_2) & ... & \phi (e_1,e_n)\\ \phi (e_2,e_1) & \phi (e_2,e_2) & ... & \phi (e_2,e_n)\\  ... &...   &...   &...  \\ \phi (e_n,e_1) & \phi (e_n,e_2) & ... & \phi (e_n,e_n)\\ \end{pmatrix}=\left (\sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_1),\sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_2),..., \sum_{1\leqslant i\leqslant n} x_i\phi (e_i,e_n)\right ) .\begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ ...\\ y_n\end{pmatrix}  

Donc : ^{t}x.S.y = y_1 \sum_{i=1}^{n} x_i  \phi (e_i,e_1) + ... + y_n \sum_{i=1}^{n} x_i  \phi (e_i,e_n)

Enfin : ^{t}x.S.y  = \sum_{j=1}^{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i  \phi (e_i,e_j)y_j)

^{t}x.S.y  = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} x_i  y_j \phi (e_i,e_j)

Maintenant je dois arriver à phi(x,y) mais les doubles sommes me gênent ...

En gros je dois utiliser les sommes de xi et yi et les considérer comme des scalaire pour utiliser :

\lambda f(u,v) = f(\lambda u , v) ?

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 00:10

Oui.

Il te restera aussi à montrer que S est symétrique, non?

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 07:39

Oui symétrique aussi

^{t}x.S.y  = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} x_i  y_j \phi (e_i,e_j)

Donc : ^{t}x.S.y  = \sum_{j=1}^{n} y_j (\phi(x_1 e_1 ,e_j)+...+\phi(x_n e_n ,e_j))

Comme phi est une forme bilinéaire on a :

^{t}x.S.y  = \sum_{j=1}^{n} y_j (\phi(x_1 e_1 + ... + x_n e_n ,e_j))

Ainsi : ^{t}x.S.y  = \sum_{j=1}^{n} y_j (\phi(\sum_{i=1}^{n}x_i e_i ,e_j))

De la même façon :

^{t}x.S.y  =\phi(\sum_{i=1}^{n}x_i e_i , \sum_{j=1}^{n} y_j e_j)=\phi(x,y)

Posté par
luzakre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 09:57

Si je comprends bien tu t'es embêté avec les matrices une ligne (ou une colonne).
Pour la matrice ligne x^T le coefficient de ligne 1, colonne j est \alpha_{1,j}=x_j et tu fais la sommation \sum_{1\leqslant k\leqslant n}\alpha_{1,k}\Phi(e_k,e_j)=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}x_k\Phi(e_k,e_j) pour avoir le coefficient de ligne 1, colonne j du produit matriciel x^TS.

De même le coefficient de ligne i, colonne 1, de la matrice colonne y est \beta_{i,1}=y_i et tu peux mieux voir, avec cette notation, le coefficient du produit matriciel.

Pour la symétrie, il suffit de remarquer que la matrice 1 ligne, 1 colonne x^TSy est égale à sa transposée donc x^TSy=(x^TSy)^T=y^TS^Tx^{TT}.
S est symétrique (c'est dans la définition même de S puisque \Phi est un produit scalaire) et x^{TT}=x donc x^TSy=y^TSx

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 14:07

luzak @ 30-07-2017 à 09:57

Si je comprends bien tu t'es embêté avec les matrices une ligne (ou une colonne).
Pour la matrice ligne x^T le coefficient de ligne 1, colonne j est \alpha_{1,j}=x_j et tu fais la sommation \sum_{1\leqslant k\leqslant n}\alpha_{1,k}\Phi(e_k,e_j)=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}x_k\Phi(e_k,e_j) pour avoir le coefficient de ligne 1, colonne j du produit matriciel x^TS.

De même le coefficient de ligne i, colonne 1, de la matrice colonne y est \beta_{i,1}=y_i et tu peux mieux voir, avec cette notation, le coefficient du produit matriciel.

Pour la symétrie, il suffit de remarquer que la matrice 1 ligne, 1 colonne x^TSy est égale à sa transposée donc x^TSy=(x^TSy)^T=y^TS^Tx^{TT}.
S est symétrique (c'est dans la définition même de S puisque \Phi est un produit scalaire) et x^{TT}=x donc x^TSy=y^TSx


Merci

Pour la symétrie j'ai fait phi est symétrique car un produit scalaire donc :

\phi (e_i ,e_j) =\phi(e_j , e_i)

Donc pour la matrice S : s_{ij} = s_{ji}

Aussi : x^TSx = \phi(x,x) >0

Donc S appartient à Sn ++ (R)

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 14:49

Bonjour,
Qu'est ce qui te reste à prouver?

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 21:27

Razes @ 30-07-2017 à 14:49

Bonjour,
Qu'est ce qui te reste à prouver?


J'ai terminé la question merci.

Posté par
Razesre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 21:45

Ramanujan @ 28-07-2017 à 23:26

Bonsoir,

Soient X et Y 2 vecteurs colonnes de E.

Soit \phi un produit scalaire sur E et S la matrice de coefficients (\phi(e_i , e_j))

Justifier que pour tout vecteur x et y de E : (\phi(x,y))=~^tX S Y et que S appartient à S_n ^{++} (R) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de Mn(R)...

J'aimerais utiliser le produit matriciel avec les sommes mais j'arrive pas trop.

Posté par
Ramanujanre : Produit scalaire et matrice symétrique 30-07-17 à 21:57

Ramanujan @ 30-07-2017 à 14:07

luzak @ 30-07-2017 à 09:57

Si je comprends bien tu t'es embêté avec les matrices une ligne (ou une colonne).
Pour la matrice ligne x^T le coefficient de ligne 1, colonne j est \alpha_{1,j}=x_j et tu fais la sommation \sum_{1\leqslant k\leqslant n}\alpha_{1,k}\Phi(e_k,e_j)=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}x_k\Phi(e_k,e_j) pour avoir le coefficient de ligne 1, colonne j du produit matriciel x^TS.

De même le coefficient de ligne i, colonne 1, de la matrice colonne y est \beta_{i,1}=y_i et tu peux mieux voir, avec cette notation, le coefficient du produit matriciel.

Pour la symétrie, il suffit de remarquer que la matrice 1 ligne, 1 colonne x^TSy est égale à sa transposée donc x^TSy=(x^TSy)^T=y^TS^Tx^{TT}.
S est symétrique (c'est dans la définition même de S puisque \Phi est un produit scalaire) et x^{TT}=x donc x^TSy=y^TSx


Merci

Pour la symétrie j'ai fait phi est symétrique car un produit scalaire donc :

\phi (e_i ,e_j) =\phi(e_j , e_i)

Donc pour la matrice S : s_{ij} = s_{ji}

Aussi : x^TSx = \phi(x,x) >0

Donc S appartient à Sn ++ (R)


Je l'ai montré ici défini positif !


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