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Produit scalaire et norme

Posté par Saosao (invité) 07-02-05 à 20:57

Bonsoir,
J'ai du mal à répondre à une question d'un exercice.

ABC est un triangle isocèle en A, O est le milieu de [BC] et E est le symétrique de A par rapport a O
1/ Quelle est la nature de ABEC?
2/ On donne AB=5 et BC=12
Calculer AO, puis en déduire le produit scalaire vectAB.vectAC
3/Cas général
Montrer que vectAB.vectAC=2AO²-AB²

Pour la 1 c'est un parallélogramme, pour la 2 c'est impossible car AO²=-11 donc pas possible de trouver AO et enfin pour le 3 je n'y arrive pas du tout
Pouvez vous m'aider s'il vous plait

Posté par
ma_corre produit scalaire et norme 07-02-05 à 21:47

Bonsoir.
Tu as raison, il doit y avoir une erreur dans l'énoncé.
Pour la 3, tu sais que (thm du milieu) : \vec{AB}+\vec{AC}=2\vec{AO}.  Ainsi, (\vec{AB}+\vec{AC})^2=4\vec{AO}^2, soit \vec{AB}^2+\vec{AC}^2+2\vec{AB}.\vec{AC}=4\vec{AO}^2.  Or, puisque le triangle est isocèle en A, tu as : \vec{AC}^2=\vec{AB}^2 et en isolant le produit scalaire restant, il vient :
2\vec{AB}.\vec{AC}=4\vec{AO}^2-2\vec{AB}^2. Il suffit de diviser par 2...


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