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Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelconque

Posté par
sgu35 26-07-20 à 13:11

Bonjour, je me demande si le produit scalaire de \vec{u}(x,y,z) et \vec{v}(x',y',z') s'exprime par xx'+yy'+zz' dans une base quelconque de l'espace. De même, je me demande si le produit vectoriel de \vec{u} par \vec{v} s'exprime par (yz'-y'z,x'z-xz',xy'-x'y) dans une base quelconque de l'espace.

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 13:30

Bonjour

La réponse est non dans les deux cas.

le 1) n' est vrai que dans une base orthonormée:

\vec{u}(x,y,z) . \vec{v}(x',y',z')=( x \vec{i}+ y\vec{j}+z\vec{k}).( x' \vec{i}+ y'\vec{j}+z'\vec{k})= xx'  \vec{i}.\vec{i}+xy'  \vec{i}.\vec{j}+ ....

Tu développes entièrement le produit, et c'est la formule dans une bas quelconque.

Regarde ce que ça donne en base orthonormée, sachant que \vec{i}.\vec{i}=? \vec{i}.\vec{j}=? etc

Pour 2) Tu suis le même raisonnement pour le produit vectoriel, et tu verras quelle hypothèse supplémentaire est nécessaire.

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 13:35

Qu'est-ce que tu veux dire par

Citation :
Tu développes entièrement le produit, et c'est la formule dans une bas quelconque.
?

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 13:38

Pour le produit vectoriel, on a besoin d'avoir \vec{i}.\vec{i}=1, \vec{j}.\vec{j}=1, \vec{k}.\vec{k}=1 et \vec{i}.\vec{j}=0, \vec{j}.\vec{k}=0, \vec{k}.\vec{i}=0

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 13:42

Non, désolé c'est plutôt \vec{i}\wedge \vec{j}=\vec{k}, \vec{j}\wedge \vec{k}=\vec{i}, \vec{k}\wedge \vec{i}=\vec{j}

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 13:47

Et de même je me demande si le déterminant des vecteurs u, v, w dans une base quelconque vaut \begin{vmatrix} \\ \\ x_1&x_2&x_3\\ \\ \\ y_1&y_2&y_3\\ \\ \\ z_1&z_2&z_3\\\notag \\ \\ \end{vmatrix} \\ \\  
, c'est-à-dire x_1y_2z_3+y_1z_2x_3+z_1x_2y_3-z_1y_2x_3-x_1z_2y_3-y_1x_2z_3
Mais je ne pense pas...

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 13:52

jeanseb @ 26-07-2020 à 13:30



\vec{u}(x,y,z) . \vec{v}(x',y',z')=( x \vec{i}+ y\vec{j}+z\vec{k}).( x' \vec{i}+ y'\vec{j}+z'\vec{k})= xx'  \vec{i}.\vec{i}+xy'  \vec{i}.\vec{j}+ xz'  \vec{i}.\vec{k}+.yx'  \vec{j}.\vec{i}+yy'  \vec{j}.\vec{j}+yz'  \vec{j}.\vec{k}+zx'  \vec{k}.\vec{i}+zy'  \vec{k}.\vec{j}+zz'  \vec{k}.\vec{k}


ensuite tu remplaces: \vec{i}.\vec{i}= 1 , \vec{i}.\vec{j}= 0   etc...CAR LA BASE EST ORTHONORMEE  et tu obtiens la formule que tu cherches.

Tu vois qu'il est nécessaire, pour avoir cette formule, que la base de départ soit orthonormée.


Cela revient à dire, grosso modo, que le théoreme de pythagore ne marche qu'en triangle rectangle (sinon il faut la formule d'Al Kashi).

Fais pareil avec le produit vectoriel.

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 13:55

Citation :
Cela revient à dire, grosso modo, que le théoreme de pythagore ne marche qu'en triangle rectangle (sinon il faut la formule d'Al Kashi).

Comment passer du produit scalaire au théorème de Pythagore?

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 14:04

Commence par faire ce que j'ai indiqué. Quand tu l'auras fait, tu comprendras "là où ça marche". Tu seras prêt pour mon explication de Pythagore.

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 14:08

Faut-il se placer dans le plan pour le théorème de Pythagore?

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 16:15

Tu peux. Mais...

jeanseb @ 26-07-2020 à 14:04

Commence par faire ce que j'ai indiqué. Quand tu l'auras fait, tu comprendras "là où ça marche". Tu seras prêt pour mon explication de Pythagore.

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 16:46

(\vec{AB}+\vec{BC})^2=\vec{AB}^2+\vec{BC}^2+2\vec{AB}.\vec{BC}
Comme \vec{AB} est orthogonal à \vec{BC}, \vec{AB}.\vec{BC}=0.
donc (\vec{AB}+\vec{BC})^2=\vec{AB}^2+\vec{BC}^2
d'où AC^2=AB^2+BC^2

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 18:06

OK.

Tu peux reprendre mon post de 13.52 et utiliser de la même manière les différents produits scalaires issus du repère orthonormé.

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 18:39

Citation :
utiliser de la même manière les différents produits scalaires issus du repère orthonormé.

Il y a plusieurs produits scalaires issus du repère orthonormé?

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 18:43

Oui:

Citation :
\vec{i}.\vec{i}= 1 , \vec{i}.\vec{j}= 0
etc

que tu remplaces dans ma longue égalité de 13h30

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 18:44

plutot de 13.52

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 18:45

OK

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 18:58

\vec{u}(x,y,z) . \vec{v}(x',y',z')=( x \vec{i}+ y\vec{j}+z\vec{k}).( x' \vec{i}+ y'\vec{j}+z'\vec{k})= xx'  \vec{i}.\vec{i}+xy'  \vec{i}.\vec{j}+ xz'  \vec{i}.\vec{k}+.yx'  \vec{j}.\vec{i}+yy'  \vec{j}.\vec{j}+yz'  \vec{j}.\vec{k}+zx'  \vec{k}.\vec{i}+zy'  \vec{k}.\vec{j}+zz'  \vec{k}.\vec{k} \\ =xx'+yy'+zz'

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 19:00

Citation :
\vec{u}(x,y,z) . \vec{v}(x',y',z')=( x \vec{i}+ y\vec{j}+z\vec{k}).( x' \vec{i}+ y'\vec{j}+z'\vec{k})= xx'  \vec{i}.\vec{i}+xy'  \vec{i}.\vec{j}+ xz'  \vec{i}.\vec{k}+.yx'  \vec{j}.\vec{i}+yy'  \vec{j}.\vec{j}+yz'  \vec{j}.\vec{k}+zx'  \vec{k}.\vec{i}+zy'  \vec{k}.\vec{j}+zz'  \vec{k}.\vec{k} \\ \\ =xx'+yy'+zz'


et ceci si le repère est orthonormé (pas forcément direct)

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 19:29

OK!

Maintenant fais pareil avec les produits vectoriels, dans un repère i j k orthonormé direct.

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 20:39

\vec{u}(x,y,z) \wedge \vec{v}(x',y',z')=( x \vec{i}+ y\vec{j}+z\vec{k})\wedge( x' \vec{i}+ y'\vec{j}+z'\vec{k})= xx'  \vec{i} \wedge \vec{i}+xy'  \vec{i}\wedge\vec{j}+ xz'  \vec{i}\wedge\vec{k}+yx'  \vec{j}\wedge\vec{i}+yy'  \vec{j}\wedge\vec{j}+yz'  \vec{j}\wedge\vec{k}+zx'  \vec{k}\wedge\vec{i}+zy'  \vec{k}\wedge\vec{j}+zz'  \vec{k}\wedge\vec{k} \\ =xy' \vec{k}+xz'(-\vec{j})+yx'(-\vec{k})+yz' \vec{i} +zx' \vec{j} + zy'(-\vec{i}) \\ =(yz'-zy')\vec{i}+(zx'-xz')\vec{j}+(xy'-yx')\vec{k} \\
et ceci dans un repère orthonormé direct.

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 20:52

Eh bien voilà!
Tu as la réponse à tes questions, et en plus tu sais pourquoi les hypothèses sont nécessaires.
Le top pour retenir les théorèmes...

Posté par
sgu35re : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 20:57

merci

Posté par
jeansebre : Produit scalaire et produit vectoriel dans une base quelcon 26-07-20 à 20:59


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