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produit scalaire, étude vetorielle

Posté par
TheMax 01-03-06 à 13:40

Boonjour cela fait plusieurs heures que je peine sur cet exercice, quelqun peut-il m'aider?merci beaucoup

Enoncé

Dans un repère orthonormal on donne les points A(-2;1;1), B(1;1;-8) et M(5;1;0).
H est le projeté orthogonal de M sur la droite (AB)
On se propose de déterminer les coordonnées de H et de calculer la distance du point M à la droite (AB)

1)  Comparer \vec{AM}.\vec{AB} et \vec{AH}.\vec{AB}.

2) Démontrer que \vec{AH}=3$ \frac{\vec{AM}.\vec{AB}}{AB^2}\vec{AB}, puis que 3$ AH=\frac{|\vec{AM}.\vec{AB}|}{AB}.

3) Démontrer que MH^2=AM^2-AH^2

4)Déterminer les coordonnées du point H

5) En déduire la distance du point M à la droite (AB)

Reponses.

1)
\vec{AM}.\vec{AB}=\vec{AB}.\vec{AM}=\bar{AB}\times \bar{AM}
\vec{AM}.\vec{AB}=\bar{AH}\times \bar{AB}

Donc \vec{AM}.\vec{AB}=\vec{AH}.\vec{AB}


Ensuite j'ai pas trouvé a partir de la 2, j'ai beau le tourner dans tous les sens je vois pas.Quelsun peut-il m'expliquer?

Merci beaucoup

Posté par
TheMaxre : produit scalaire, étude vetorielle 01-03-06 à 18:24

s'il vous plait aidez moi j'y comprends rien!

Posté par
paulore : produit scalaire, étude vetorielle 02-03-06 à 19:11

bonsoir,

j'ai eu du mal particulierement sur la 2 ou je ne reponds pas completement.


1/ \vec{AM}=(7;0;1)
   \vec{AB}=(3;0;-9)

      \vec{AM}*\vec{AB}=21+9=30
   \vec{AH}*\vec{AB}=(\vec{AM}+\vec{MH})\times\vec{AB}=\vec{AM}\times\vec{AB}+\vec{MH}\times\vec{AB}

on a \vec{MH}\times\vec{AB}=0 car les 2 vecteurs sont perpendiculaires

donc \vec{AM}\times\vec{AB}=\vec{AH}\times\vec{AB}


2/ \vec{AH}=\frac{\vec{AM}\times\vec{AB}}{AB^2}\times\vec{AB}

avec l'egalite du premierement on peut ecrire:

\vec{AH}=\frac{\vec{AH}\times\vec{AB}}{AB^2}\times\vec{AB}

on a \vec{AB}=(3;0;-9)

ce qui en simplifiant donne 1=\frac{90}{90}

et on trouve AH=\sqrt{10}
la , j'avoue que je n'ai pas compris la deuxieme partie de la question 2



3/ c'est tout simplement l'aplication du theoreme de pythagore dans le plan MHA

4/ les points A H et B sont alignés

on trouve facilement que AH=\sqrt{10} et AB =3\times\sqrt{10}


et \vec{AB}=3\times\vec{AH}

\vec{AB}=(3;0;-9)
\vec{AH}=(x+2;y-1;z-1)

ce qui donne comme coordonnées pour le point H ( -1;1;-2)

5/\vec{MH}=(-6;0;-2)

ce qui donne MH=2\times\sqrt{10}


voila si tu n'es pas d'accord dis-le , je peux m'etre trompé

a plus tard

Paulo

Posté par
TheMaxre : produit scalaire, étude vetorielle 03-03-06 à 15:49

je comprends pas trop pour la 2.pouvez vous developper un peu plus?

merci beaucoup

Posté par
paulore : produit scalaire, étude vetorielle 03-03-06 à 20:04

bonsoir,

voila pour la 2°

on sait que \vec{AM}\times\vec{AB}=\vec{AH}\times\vec{AB}

donc \vec{AH}=\frac{\vec{AH}\times\vec{AB}}{AB^2}\times\vec{AB}

     \vec{AH}=\vec{AH}\times\frac{\vec{AB}\times\vec{AB}}{AB^2}

     et \frac{\vec{AB}\times\vec{AB}}{AB^2}=1

voila est-ce que tu es plus convaincu?

pour la 2° partie

\vec{AM}\times\vec{AB}=|AH\times{AB}|=|AM\times{AB}|\times{cos(AM,AB)}



je reprendrai plus tard si necessaire


a plus

Paulo


Posté par
paulore : produit scalaire, étude vetorielle 04-03-06 à 00:55

re bonsoir,

on doit demontrer que la proposition AH=\frac{|\vec{AM}\times\vec{AB}|}{AB} est vraie

on revient toujours a la premiere egalite

\vec{AM}\times\vec{AB}=\vec{AH}\times\vec{AB}

donc AH=\frac{|\vec{AM}\times\vec{AB}|}{AB}

or A , H , et B sont alignés

donc AH= \frac{(AH)\times(AB)}{AB}

voila

a plus

Paulo

Posté par
TheMaxre : produit scalaire, étude vetorielle 04-03-06 à 09:54

tout d'abord merci pour toutes ces explication.
Malheureusement je comprends toujours pas la 2eme partie du 2°

Posté par
paulore : produit scalaire, étude vetorielle 04-03-06 à 12:43

bonjour,
on doit verifier que AH=\frac{|\vec{AM}\times\vec{AB}|}{AB}
or
\vec{AM}\times\vec{AB}=\vec{AH}\times\vec{AB}

donc on doit verifier que AH=\frac{|\vec{AH}\times\vec{AB}|}{AB}

or A,H,etB sont alignés

donc\vec{AH}\times\vec{AB}=|\vec{AH}\times\vec{AB}|=(AH)\times(AB)\times cos(0)

car le produit AH par AB est >0

donc AH=AH\times\frac{AB}{AB}

donc AH=\frac{|\vec{AM}\times\vec{AB}|}{AB} est verifiée


voila j'espere que cette fois c'est plus clair. Hier j'ai ete un peu vite a cause d'un copier /coller avec le latex

a plus tard si tu as besoin

paulo

Posté par
TheMaxre : produit scalaire, étude vetorielle 04-03-06 à 13:21

ah voila je comprends mieux.
pour la question 4 je comprends pas pourquoi AH=\sqrt {10}

Posté par
paulore : produit scalaire, étude vetorielle 04-03-06 à 19:12

bonsoir,

on sait maintenant que:

AH=\frac{|\vec{AM}\times\vec{AB}|}{AB}

les coordonnées de \vec{AM} sont : (7;0;-1)
les coordonnées de \vec{AB} sont : (3;0;-9)

\vec{AM}\times\vec{AB}=21+0+9=30
AB=\sqrt{3^2+0^2+(-9)^2}=\sqrt90=3\times\sqrt{10}

AH=\frac{3\times{10}}{3\times\sqrt10}=\sqrt{10}


j'espere que je me suis justement expliqué

a plus tard
Paulo

Posté par
TheMaxre : produit scalaire, étude vetorielle 04-03-06 à 20:23

voila j'ai enfin reussit a terminé ce probleme. j'ai tout compris. merci beaucoup pour votre patience et vos explications! Merci!bonne soirée


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