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Produit scalaire exercice
Bonjour, la question d'un exercice me pose de problème.
ABC est un triangle quelconque. On construit les triangles CAF et BAE rectangles isocèles en A comme indiqué sur la figure. On veut prouver que la médiane (AI) du triangle ABC est une hauteur du triangle AEF.
1)Montrer que (tout ça sous la forme de vecteurs/le point signifie scalaire) :
AB.AF = AC.AE
Je l'ai bien démontré
2)Ecprimer le vecteur AI en fonction des vecteurs AB et AC
Là, en partant de AI= AB+1/2 BC, j'ai trouvé AI= 1/2 (AB+BC).
3) Prouver que AI.EF=0, puis conclure
Alors là, je bloque, Je pense qu'on doit utiliser:
AI=1/2(AB+AC)
et
EF= EA + AF
Mais je ne trouve pas la Solution
Merci
PS : Après l'énoncé principal, a partir des questions il s'agit de vecteurs et non de longueurs.
Bonjour,
2)Ecprimer le vecteur AI en fonction des vecteurs AB et AC
Là, en partant de AI= AB+1/2 BC, j'ai trouvé AI= 1/2 (AB+BC).
Recommence, car là, c'est faux !
AI=1/2(AB+AC)
et
EF= EA + AF
développer et simplifier ceux qui sont nuls
mais ensuite les deux produits scalaires qui restent doivent être exprimés par exemple avec la formule
seule façon de faire apparaitre les normes égales des vecteurs AC et AF d'une part
et AB et AE d'autre part.
(il est trivial que si les triangles rectangles ne sont pas isocèles, ça ne marche pas, donc ces normes doivent bien intervenir quelque part dans la démonstration)
généralement dans cet exo classique, il y a une question intermédiaire sur les angles.
et "en déduire" l'égalité de deux produits scalaires explicitement cités
ici il n'est pas si évident d'imaginer ça sans ce "guide" ...
seule façon de faire apparaitre les normes égales des vecteurs AC et AF d'une part
et AB et AE d'autre part.
(il est trivial que si les triangles rectangles ne sont pas isocèles, ça ne marche pas, donc ces normes doivent bien intervenir quelque part dans la démonstration)
Il est déjà dit dans l'énoncé que les triangles sont rectangles isocèles donc on sait déjà que les normes EA=AB et AC=AF.
oui, mais il s'agit de l'utiliser
je ne dis pas autre chose !!
et j'ai dit comment l'utiliser :
en faisant apparaitre ces normes dans des produits scalaires écrits avec la formule en cosinus
aucune décomposition (avec Chasles etc) seule ne permettrait de conclure
car elle ne peut donner que des conclusions dans des cas ou le "isocèle" ne serait pas imposé.
(on peut aussi le montrer "en deux lignes" sans aucun vecteur du tout, mais ceci est une toute autre histoire sans rapport avec l'exo)
Bonsoir, je suis moi aussi bloqué dans cette question ,en tenant compte de vos conseils j ai donc fait (1/2 AB+1/2AC). EA+EF
= 1/2AB.EA + 1/2AC.EA +1/2AB.AF+1/2AC.AF
=1/2AC.EA + 1/2AB.AF
Cependant je me suis arreté la et je ne vois pas a quoi la formule du produit scaliare avec le cosinus peut nous servir puisqu en la faisant je tombe sur
1/2AC x EA x cos CAE + 1/2AB x AF x cos BAF et je ne vois pas comment continuer
Merci de votre aide
(1/2 AB+1/2AC). (EA+AF) on va dire erreurs de frappes
=1/2AC.EA + 1/2AB.AF OK (en vecteurs )
=1/2AC x EA x cos CAE + 1/2AB x AF x cos BAF (en longueurs)
déja c'est faux (erreur de signe, les angles ce sont des angles de vecteurs, pas des angles "géométriques de collège")
l'angle des vecteurs AC et EA c'est l'angle géométrique CAx
pas du tout CAE
puis il faut tenir compte que
AC = AF en longueur
et que EA = AB en longueur
et quant aux angles, c'est comparer les angles CAE et BAF
et tu vas obtenir que les deux produits scalaire sont égaux en valeur absolue et de signes contraires
donc leur somme est nulle, et c'est fini.
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