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Niveau maths spé
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Produit scalaire forme bilinéaire

Posté par
Camcamlvn
24-02-21 à 16:54

Bonjour,
Je suis étudiante en 2ème année de prépa et je bloque sur un exo de maths.

L'énoncé est le suivant :

On considère le -espace vectoriel F := C([0, 1]) des fonctions continues de [0, 1] dans , et on se donne u = (U_n)n∈une suite à valeurs dans [0, 1]. Pour f, g ∈ F on pose
φ(f, g) =  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}f(U_n)g(U_n)

Question 1 et 2 traitées.
Question 3 : Si u = (1/(n+1))n, l'application φ définit-elle un produit scalaire sur F ?

Posté par
GBZM
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 17:02

Bonjour,*

Ceci revient à se demander si la forme quadratique f\mapsto \varphi(f,f) est définie positive.

Posté par
Camcamlvn
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 17:33

Oui j'ai vu cette définition mais je n'arrive pas à le montrer. J'ai cherché depuis vôtre message mais je bloque.

Posté par
GBZM
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 17:42

Peux-tu expliciter ce que veut dire que tex]f\mapsto \varphi(f,f)[/tex] est définie positive, pour le \varphi de la question 3 ?

Posté par
Camcamlvn
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 17:51

Non je bloque ici justement.

Posté par
GBZM
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 17:55

Bah bah bah
Tu sais ce que vaut \varphi(f,f). Et tu sais ce que veut dire "définie positive".
Alors, retrousse-toi les manches et vas-y. Ècris à quelle condition on aurait un produit scalaire.

Posté par
Camcamlvn
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 18:18

J'ai essayé depuis tout à l'heure mais je bloque encore

Posté par
verdurin
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 18:33

Bonsoir,
est-il possible de trouver une fonction continue définie sur [0;1] et qui vaut zéro pour toutes les valeurs de la forme 1/(n+1) sans être la fonction x0  ?

Posté par
etniopal
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 18:55

   verdurin  
      est-il possible ....?
     Il me semble que oui .

Posté par
verdurin
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 19:07

Salut etniopal.
Je sais faire l'exercice.
Ma question ne s'adressait pas à toi mais à Camcamlvn.
Maintenant  qu'il sait que la réponse est oui, il ne lui reste plus qu'a trouver un exemple.

Posté par
Camcamlvn
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 19:34

Hm la fonction je ne suis pas sûre mais on peut prendre n très grand ?
Mais je ne vois pas trop le lien avec la question

Posté par
verdurin
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 19:52

Il faut regarder plutôt les petites valeurs de n.
Le rapport avec la question est :
peut-on avoir (f,f)=0 sans que f soit identiquement nulle.
Par exemple peut-on avoir (f,f)=0 et f(2/3)0 ?

Posté par
GBZM
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 20:15

Je constate que tu n'as toujours pas fait l'effort d'expliciter \varphi(f,f) et de voir ce que signifie \varphi(f,f)=0.
Peux-tu au moins rappeler la définition de "forme quadratique définie positive" ?

Posté par
Camcamlvn
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 20:20

C'est quand pour tout x 0, on a q(x) > 0

Posté par
GBZM
re : Produit scalaire forme bilinéaire 24-02-21 à 21:29

Bien. Et ici, comment est-ce que ça se traduit ? Que vaut \varphi(f,f) ?



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