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produit scalaire minimisation
bonjour
on me demande de trouver x et y pour que la quantité (x-1)2+(y-2)2+(x+y)2 soit minimale.
je sais que je dois interpréter le problème a l'aide du produit scalaire, l'expression ressemble au produit scalaire canonique donc ça devient ||(x-1, y-2, x+y)|| = ||u -v|| avec u=(x, y, x) et v=(1, 2, -y) pour essayer de faire apparaitre ||u-P(u)|| (mais j'ai l'impression que ce n'est pas la chose a faire , peut etre parce que x et y apparaissent dans les deux vecteurs? est ce bien ça?)
ensuite j'ai fait autrement ||(1,2,0) - x(1,0,1)-y(0,1,1)||=||u-xv1-yv2||
puis j'ai cherche le projeté de u sur l'espace engendre par v1 et v2 en orthonormalisant puis en faisant P(u) = (u|e1)e1 +(u|e2)e2
puis apres quelque manipulation je trouve P(u) = av1+bv2 donc min(x,y)= (a,b)
ma demarche est elle correcte ? y a t il une autre methode algebrique pour resoudre cet exo?
merci a vous
tu peux aussi le développer, le remettre sous une forme A²+B²+k et annuler A et B pour trouver le minimum. ça revient au même.
Bonjour, pourquoi ne pas annuler simplement les dérivées partielles en x et y ?
parce que c'est un exo du cours sur les espaces euclidiens , je suis donc sensé utilise une méthode algébrique et non analytique, de plus je ne connais pas encore les dérives partielles(a part quelque exemple en physique) et l'étude des fonctions a deux variables
tu peux aussi le développer, le remettre sous une forme A²+B²+k et annuler A et B pour trouver le minimum. ça revient au même.
je n'ai pas tres bien compris votre propos a quoi correspondent A et B?
ça consiste à montrer que :
(x-1)2+(y-2)2+(x+y)2 = (2x+y-1)²/2 + 4(y-1)²/2 + 3
(on développe et on remet sous forme canonique)
et sous cette forme avec que des carrés positifs on voit tout de suite que le minimum est atteint quand les termes positifs s'annulent donc quand y = 1 et 2x+y-1 = 0
x = 0 et on peut conclure qu'on a
un minimum en (0;1) qui vaut 3
Bonjour ,
Si f : 
² 
, pour calculer m(f) := Inf{ f(x , y) │ (x , y) 
² } on peut se servir du fait que l'on a :
m(f) = Inf{g(y) │ y } où , pour chaque y , on a g(y) := Inf{ f(x , y) │ x } .
A chaque étape on a affaire à un polynôme de degré 2 .
Bonjour,
Vu que c'est dans la rubrique "Espaces euclidiens", on peu penser, vu que la quantité à minimiser est
où sont les vecteurs que vous devinez, à projeter orthogonalement
sur le plan engendré par
et
.
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