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Niveau terminale
produit scalaire , point fixe et cercle dans l espace
Posté par l-illuminé (invité)
Bonjour à tous ,j'aurais besoin d'un petit coup de pouce sur 2 questions de conclusion sur un problème posé à résoudre de deux manières diférentes.
_/]Enoncé[\_
On considère C cercle de centre O de rayon R contenu dans le plan P , et A un point de l'espace n'appartenant pas à P
On se propose de prouver que lorsque L varie sur le cercle C , le plan orthogonal en L à la droite (AL) passe par un point fixe
A) avec le produit scalaire
Soit P le projeté orthogonal de A sur P et Q le symétrique de P par rapport à O
B point quelconque de la perpendiculaire delta au plan P passant par Q
questions:
1) justifier l'existance d'un réel k tel que vecteur QB = k vecteur PA
2) Etablir que vecteur LP scalaire vecteur LQ = R² - OP²
En déduire que vecteur LA scalaire vecteur LB = R² - OP² + kd² avec d distance de A au plan P (c'est à dire AP)
3)Montrer qu'il existe un point B de delta , entierement déterminé par les données fixes du problème , tel que pour tout point L de C , le plan orthogonal en L à (AL) passe par B
donc là j'ai parfaitement réussi les 2 premières questions et là je bloque pour savoir comment répondre à la 3 sachant qu'on doit résoudre l'égalité
R² - OP² + kd² = 0
B)avec la géométrie analytique
1) Montrer qu'il est possible de choisir un repère (O;
;
;
) tel que C d'équation x²+y²=R² avec z=0
2) soit théta un réel
L a pour coordonnées (Rcos(theta);Rsin(théta);0)
Prouvé qu'un point M(x;y;z) appartient au plan passant par L et orthogonal à (AL) si (x;y;z) rérifie
(a+x)cos(theta)+(b+z)sin(theta)-(R²+ax+by+cz)=0
avec A(a;b;c)
3) Conclure en donnant les coordonnées du point fixe cherché
et là rebellotte , j'arrive pas à comprendre comment faire la question 3 , sachant que j'aurais quelques problèmes de rigueur d'écriture sur les précédentes :p
bonjour 
,
3)Montrer qu'il existe un point B de delta , entierement déterminé par les données fixes du problème , tel que pour tout point L de C , le plan orthogonal en L à (AL) passe par B
donc là j'ai parfaitement réussi les 2 premières questions et là je bloque pour savoir comment répondre à la 3 sachant qu'on doit résoudre l'égalité
R² - OP² + kd² = 0
qu'est ce qui est inconnue dans cette équation ?
R étant le rayon du cecle, il est connu
O est connu et ne "bouge" pas
P étant le projeté de A sur le plan P, il ne peut "bouger".
donc OP est fixe et connue
d est la longueur AP.
donc pas de modification et c'est connu
il te reste k qui permet de te définir le point B :
ainsi si tu définis le nombre k, tu définis du même coup un point B qui est fixe, vu que A, P et Q le sont.
____
pour la suite, je vais le lire
3) Conclure en donnant les coordonnées du point fixe cherché
et là rebellotte , j'arrive pas à comprendre comment faire la question 3 , sachant que j'aurais quelques problèmes de rigueur d'écriture sur les précédentes :p
c'est à dire ?
____
pour cette question, on te demande de chercher un triplet de nombre (x ; y ; z) de sorte que qu'il vérifie cela :
(a+x)cos()+(b+z)sin(
)-(R²+ax+by+cz)=0
et
qu'il ne dépent pas de
Pourquoi ? parce que est le seul nombre qui varie
comprends tu ?
Posté par l-illuminé (invité)re : produit scalaire , point fixe et cercle dans l espace
ha oééééééé
en fait , je fais dégager les theta en prenant x=-a et y=-b
ce qui donne
-(R²-a²-b²+cz)=0 <=> R²+cz=a²+b²
<=> z= (a²+b²-R²)/c
c ça ?
problèmes de rigueur d'écriture
=> bah à mon avis ,la démonstration que j'ai faite n'estpas très rigoureuse
surtout pour le B-1) donc si je pouvais avoir un "modèle" de démonstration ce seré cool
problèmes de rigueur d'écriture
=> bah à mon avis ,la démonstration que j'ai faite n'estpas très rigoureuse
surtout pour le B-1) donc si je pouvais avoir un "modèle" de démonstration ce seré cool
petit 1 : il n'y a pas de modèle de démonstration (même si beaucoup pense le contraire) :
comme on dit souvant : "ce qui se conçoit bien, s'énonce clairement et les mot pour le dire arrive aisément." (Nicolas Boileau est son auteur )
par contre, tu peux écrire ta démonstration et nous pouvons te dire ce qui est correct et ce qui l'est moins
_____________
enfin,
en fait , je fais dégager les theta en prenant x=-a et y=-b
ce qui donne
-(R²-a²-b²+cz)=0 <=> R²+cz=a²+b²
<=> z= (a²+b²-R²)/c
c ça ?
a-t-on avis ?
petite question au passage, qu'est-ce qui te permet de justifier que tu puisses diviser par c ?
Posté par l-illuminé (invité)re : produit scalaire , point fixe et cercle dans l espace
bah ça doit etre ça :p
je peux diviser par c parce que A n'appartient pas à P donc B n'appartient pas à P aussi
ma démo du B-1):
C a pour équation x²+y²=R² d'ou x²+y²=OM² (M(x;y;z) point quelconque de C de centre O(X;Y;Z)
<=> x²+y²=(x-X)²+(y-Y)²
<=> x²+y²=x²+y²+X²+Y²-2xX-2yY
<=> 2xX+2yY=X²+Y²
<=> X=0 et Y=0
donc O origine du repère
soit K(x';y';z') appartient à C et K appartient à (OP) tel que vecteur OK =
d'ou OK²=x'²+y'²=1²+0²=1
donc il existe un repère orthonormal (O;i;j;k) tel que ||||=||||=||||=R
re bonjour ,
bah ça doit etre ça :p
je peux diviser par c parce que A n'appartient pas à P donc B n'appartient pas à P aussi
je ne vois pas l'intérêt de la partie en gras 
c ne dépent pas de B, ou je me trompe peut-être.
pour ta démonstration, ce qui me gène un peu, c'est que tu pars de la conclusion : x²+y²=R², pour arriver à dire que le cercle de centre (C) et de rayon R a pour équation x²+y²=R²
la question est bien : 1) Montrer qu'il est possible de choisir un repère (O;) tel que C d'équation x²+y²=R² avec z=0
donc on te dit que l'origine est O, ceci c'est donné,
et on demande de définir des vecteurs tel que le cercle (C) a pour équations
comme ce cercle appartient au plan (P), si tu veux de telles équations comment doivent être ces vecteurs par rapport au plan (P) ?
ensuite, tu commets un erreur en disant :
il existe un repère orthonormal (O;) tel que
il faut que tu saches ce que signifie repère orthonormal :
"ortho" signifie que les axes sont perpendiculares deux à deux ;
"normal" signifie que les vecteurs sont de orme 1, donc il ne peuvent pas être de norme R
et même si c'était le cas, cela signifirait que ton cercle aurait pour équation :
ce que tu ne veux pas.
maintenant,comprends tu tes erreurs et peux tu les rectifier ?