Sauf erreur, soient C1 et C2 les deux cercles de centre respectif O1, O2.

La droite d1 qui est perpendiculaire au plan de C1 et qui passe par O1 le centre de ce cercle, passe aussi par le centre O de toute sphère qui contient C1.

même chose pour C2. Appelons cette droite d2.

Donc si C1 et C2 sont sur une même sphère, le centre de la sphère est l'intersection de d1 et d2.

Remarques:

0) le fait de supposer que les plans de C1 et C2 soient différents permet d'affirmer que d1 et d2 ont bien une intersection non vide.

1) le fait de supposer que les plans de C1 et C2 soient différents et que C1 et C2 se coupent en deux points permet d'éliminer le cas où d1=d2.

Par ailleurs, dans l'espace, si on se donne un cercle, il n'y a qu'une sphère qui contient ce cercle.

Concrètement ce qu'il faudrait faire:

Soient A,B les deux points d'intersection des cercles C1 de centre O1 et C2 le cercle de centre O2.

On introduit les droites d1, d2 comme ci-dessus et O leur point d'intersection.

Il reste à vérifier que si M est un point de C1 alors OM=OA.
Même chose pour M de C2.

Afin d'utiliser le produit scalaire, il faut se rappeler la façon dont on a construit O candidat pour être le centre de la sphère.

Pour rappel:
un point M  appartient à C1 si et seulement si il vérifie O1M=O1A

Merci beaucoup !

Par contre quand vous dites :
"Par ailleurs, dans l'espace, si on se donne un cercle, il n'y a qu'une sphère qui contient ce cercle."
je n'arrive pas à l'imaginer.
Si je me figure un cercle dans l'espace je vois une infinité de sphère qui le contient.

Et si c'était vrai, pourquoi précisez-vous
"La droite d1 qui est perpendiculaire au plan de C1 et qui passe par O1 le centre de ce cercle, passe aussi par le centre O de toute sphère qui contient C1. "

Mais j'ai peut-être mal lu quelque part.

Pour introduire un produit scalaire:

Exemple:

Pour rappel:

et orthogonales si et seulement si

Oki doki merci beaucoup !

Concrètement on part de :



M appartient au cercle C1 et O est l'intersection des droites d1 et d2 comme expliqué ci-dessus.

et on doit arriver à montrer que:



est l'un des points d'intersection de et

L'outil qui va faire tout le boulot est la relation de Chasles sur les vecteurs.

FDP a fourni quelques bonnes idées que je vais reprendre pour la démo :

soit A et B les points d'intersection des 2 cercles C1 et C2

soit d1 la droite ortho en O1 (centre de C1) au plan de C1
d1 appartient au plan médiateur du segment [AB]

soit d2 la droite ortho en O2 (centre de C2) au plan de C2
d2 appartient au plan médiateur du segment [AB]

les plans contenant C1 et C2 n'étant pas coplanaires, les droites d1 et d2
ne sont pas parallèles.
les droites d1 et d2 appartiennent au plan médiateur de [AB], elles sont donc
coplanaires et s'intersectent en un point O.

A partir de là tout est dit car :

Pour tout point M de C1, OM = OA = OB
Pour tout point M de C2, OM = OA = OB

donc tout point M de C1 et de C2 est à égale distance du point O.

Mais cette démo ne fait pas intervenir le produit scalaire...

Une dernière chose me turlupine.

En y réfléchissant j'ai l'impression que l'énoncé est faux. Selon moi il manquerait une condition.
Je dois sans doute avoir fait une erreur, mais j'ai essayé de faire un schéma grâce à géogebra :

J'ai tracé un cercle de rayon 1 passant par l'origine et appartenant au plan horizontal, puis un autre : celui passant par le point B.
J'ai également afficher une sphère contenant le plus petit cercle pour avoir une idée.
A partir de là je n'arrive pas à imaginer une sphère contenant les deux cercles qui pourtant ne sont pas coplanaires et se coupent en deux points.

Pour construire aisément la situation décrite dans l'exercice

Si tu prends deux points antipodaux qui sont sur l'"équateur", tu peux prendre le cercle équateur . Le deuxième cercle tu peux le prendre en considérant le cercle qui passe par les deux points antipodaux considérés et les deux pôles.