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Niveau Maths sup
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Produit télescopique

Posté par
CloudNine
30-12-16 à 23:11

Bonsoir,
Je n'y arrive pas avec les produits télescopiques, j'ai relus mon cours plusieurs fois et j'ai vu des exemples.
J'ai cherché sur internet un exercice:
Calculer le produit télescopique:
1) \prod_{k=1}^{n}{1 + \frac{1}{kk!}}
2) \prod_{k=1}^{n+1}{1 + \frac{1}{kk!}}

Ce que j'ai fait:
1) 1 + \frac{1}{kk!} = \frac{kk! + 1}{kk!}
\prod_{k=1}^{n}{1 + \frac{1}{kk!}} = \frac{1+1}{1} *\frac{4+1}{2}*\frac{24+1}{3}...... *\frac{n!+1}{n}

Après, je n'ai pas comment faire.
Merci beaucoup d'avance pour vos aides, indications...
CloudNine,

Posté par
jeanseb
re : Produit télescopique 31-12-16 à 11:49

Bonjour

Tu as mal calculé les premiers termes:

\prod_{k=1}^{n}{1 + \frac{1}{kk!}} = \frac{1+1}{1} *\frac{4+1}{4}*\frac{18+1}{18}* \frac{97}{96}...... *\frac{nn!+1}{nn!}

Tu ne commences pas par un exercice facile! Cherche-s-en un plus abordable si tu as du mal...

Posté par
lake
re : Produit télescopique 31-12-16 à 20:29

Bonsoir Jean Seb et bon réveillon,

Difficile, c' est certain.
Sous entends-tu que tu as une solution ?
Oui ou non, je ne te la demande pas...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Produit télescopique 01-01-17 à 10:17

Bonjour,

En ce qui me concerne, je sèche pour l'instant.

Nicolas

Posté par
lake
re : Produit télescopique 01-01-17 à 11:18

Bonjour Nicolas,

Moi aussi et ce n' est pas faute d' avoir cherché...

Posté par
jsvdb
re : Produit télescopique 19-01-17 à 11:47

Bonjour,
Je suis très intéressé par la correction de cet exercice !

Posté par
boninmi
re : Produit télescopique 19-01-17 à 13:21

Bonjour,

- Passer au ln ?
- Développer en série chacun des ln (d'où une série double) ?
- Introduire une variable x pour jouer sur le fait que xk/k a pour primitive xk+1 et se débarrasser ainsi du k en dénominateur et trouver une fonction plus classique ?

Posté par
carpediem
re : Produit télescopique 19-01-17 à 13:34

salut

moi aussi ...

je ne voyais rien ... et je ne vois toujours rien !!

\prod_1^n (1 + \dfrac 1 {kk!}) = \dfrac {\prod_1^n (kk! + 1)} {\prod_1^n kk!}

le dénominateur ne pose pas de pb ...

si u_k = 1 + kk! = 1 + (k + 1)! - k! j'ai essayé de calculer u_1u_2 = 2! u_2 (évident) puis u_1 u_2 u_3 pour voir quelque chose ... mais rien de guère satisfaisant

Posté par
CloudNine
re : Produit télescopique 19-01-17 à 15:12

Bonjour,
Je suis désolé mais on ne l'a pas corrigé en classe. Notre professeur n'a pas corrigé cette exercice.  J'ai trouvé un corrigé qui ressemble à cette exercice mais sous forme de suite.

** image supprimée **
Source: Livre_Les Méthodes et Exercices de Mathématiques MPSI ''

CloudNine,

Posté par
jsvdb
re : Produit télescopique 19-01-17 à 15:30

Pour mémoire, on a ceci : e-\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}} \leq \dfrac{1}{n.n!}

Posté par
jsvdb
re : Produit télescopique 19-01-17 à 15:34

CloudNine @ 19-01-2017 à 15:12


Je suis désolé mais on ne l'a pas corrigé en classe. Notre professeur n'a pas corrigé cette exercice.

Et il n'y a pas possibilité de lui demander ?

Posté par
jsvdb
re : Produit télescopique 19-01-17 à 15:42

@CloudNine : tu peux poster le début de l'exercice ? On ne sait pas quelles sont les suites u_n et v_n (et j'ai pas envie de les reconstituer )

Posté par
etniopal
re : Produit télescopique 19-01-17 à 15:49

Il ne s'agissait donc pas de trouver une jolie formule pour chaque  \prod_{k=1}^{n}{1 + \frac{1}{kk!}} .

Le  produit infini  \prod_{k=1}^{\infty}{1 + \frac{1}{kk!}}   est clairement .convergent  (vers un réel > 1  )  car
la suite  u : n    \prod_{k=1}^{n}{1 + \frac{1}{kk!}} est
   ..à valeurs dans ]1  , +[
   ..croissante  
   ..majorée puisqu'il est clair que    n ln(un)  < +  .

Posté par
jsvdb
re : Produit télescopique 19-01-17 à 15:58

jsvdb @ 19-01-2017 à 15:42

On ne sait pas quelles sont les suites u_n et v_n

Nan, j'ai rien dit :

u_n = \prod_{k=1}^{n}\left({1 + \dfrac{1}{kk!}}\right)

\begin{cases} u_1 = 2 & \text{ si } n = 1  \\ u_{n} = \left(1+\dfrac{1}{n.n!}\right)u_{n-1} & \text{ si } n > 1  
 \\ \end{cases}

v_n = \left(1+\dfrac{1}{n.n!}\right)u_{n}

sont des suites adjacentes, pas télescopiques, mais ça c'est un classique ...

Posté par
carpediem
re : Produit télescopique 19-01-17 à 16:19

Posté par
CloudNine
re : Produit télescopique 19-01-17 à 16:22

jsvdb @ 19-01-2017 à 15:34

CloudNine @ 19-01-2017 à 15:12


Je suis désolé mais on ne l'a pas corrigé en classe. Notre professeur n'a pas corrigé cette exercice.

Et il n'y a pas possibilité de lui demander ?


Bonjour,
Après ce chapitre, nous avons changé de professeur. Mais je vais essayer de demander.

CloudNine,

Posté par
jsvdb
re : Produit télescopique 19-01-17 à 16:24

Tu sembles déçu Carpi !?

Posté par
carpediem
re : Produit télescopique 19-01-17 à 16:48

ben encore un énoncé foireux ... comme l'a remarqué etniopal ...

enfin je pense ... mais on attend toujours ...


REM : quelle est la différence entre les deux questions postées dans le premier fil de ce topic ?



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