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Produit Vectoriel dans un trièdre

Posté par
karot
13-10-20 à 11:13

Bonjour,

Voici l'énoncé : "Soit le trièdre R(O; X,Y,Z) orthonormé direct. On appelle u le vecteur unité du plan (O; X,Y) orienté par Z dont l'angle polaire est α tel que (X,u)= α orienté par Z. On pose v=Z ∧ u.

Déterminer sans calcul les produit scalaire et vectoriels suivants :

X.v ; u ∧  X ; Y ∧  u; v  ∧ u; Y ∧ v; v ∧ X"

Pour X.v je trouve cos(2 α + pi/2)=-sin (2α), ce qui voudrait dire qu'il y a un angle de 2α + pi/2 entre X et v, mais quand je projette v sur le plan (O; X,Y)(ce qui me donne v = cos (α) Y  - sin(α)X)  puis refais le produit scalaire j'obtiens -sin(α), ce qui signifie un angle de α+pi/2 entre X et v.

Quel est le bon résultat ?

J'ai aussi trouvé u ∧  X = -sin α, Y ∧ u =-cos α, v ∧ u = -cos α, Y ∧ v = sin α qui m'ont l'air correct et v ∧ X = -cos(2α) et -cos(α) en projettant (même problème qu'avec X.v).

Merci.

Posté par
karot
re : Produit Vectoriel dans un trièdre 13-10-20 à 11:25

Désolé je ne sais pas comment éditer mon message, je viens de me rendre compte que l'angle entre X et v est bien α+pi/2, sur mon schéma en 3D j'avais l'impression qu'il y avait un angle de pi/2 entre u et Y...

Posté par
GBZM
re : Produit Vectoriel dans un trièdre 13-10-20 à 11:35

Bonjour,

Un produit vectoriel est un vecteur, comme son nom l'indique. Or dans tes résultats tu donnes des scalaires comme résultat de produit vectoriel : ça ne peut pas aller.
Le "sans calcul" me semble un peu idiot : on sait que X\wedge Y= Z, Y\wedge Z = X et Z\wedge X= Y. On a aussi u = \cos(\alpha) X+ \sin(\alpha) Y. À partir de là, aucune difficulté pour obtenir les résultats demandés.
Par exemple X\cdot v est le produit mixte (X,Z,u). À partir de l'expression de u, tu peux voir facilement quelle est la bonne valeur.

Posté par
karot
re : Produit Vectoriel dans un trièdre 13-10-20 à 11:50

Merci beaucoup.

Le prof a mis sans calcul parce qu'il ne voulait pas qu'on projette je pense, il nous a fait faire un schéma et on devait trouver les vecteur avec la règle de la main droite.

Du coup si j'ai bien compris on a :

u ∧  X = (-sin α)Z, Y ∧ u =(-cos α)Z, v ∧ u = (-cos α)Z, Y ∧ v = (sin α)Z, v ∧ X = (-cos α)Z

Posté par
GBZM
re : Produit Vectoriel dans un trièdre 13-10-20 à 11:54

Ça ne va visiblement pas pour v\wedge u.

Posté par
karot
re : Produit Vectoriel dans un trièdre 13-10-20 à 12:02

Effectivement v\wedge u = -sin(pi/2)=-1Z , j'avais trouvé -sin(pi/2+ α) en considérant l'angle (u,v)=pi/2+ α au lieu de pi/2.

Posté par
GBZM
re : Produit Vectoriel dans un trièdre 13-10-20 à 12:05

karot @ 13-10-2020 à 12:02

v\wedge u = -sin(pi/2)=-1Z

Sois plus soigneux, tu écris encore une égalité entre un scalaire et un vecteur.

Posté par
gbm Webmaster
re : Produit Vectoriel dans un trièdre 13-10-20 à 13:16

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