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Produits d'entiers

Posté par Profil Ramanujan 04-04-20 à 07:24

Bonjour,

Un QCM que j'ai trouvé. Le produits de 4 entiers consécutifs est nécessairement divisible par 16, 18, 20, 24 ?

J'ai écrit P=n(n+1)(n+2)(n+3)

En raisonnant avec les congruences dans ma tête je remarque que P est divisible par 2,3,4.
Mais je ne vois pas comment continuer.

Posté par
verdurinre : Produits d'entiers 04-04-20 à 08:05

Bonjour,
le coefficient binomial \binom{n+3}{4} est toujours un entier quand n est un entier.

Or \binom{n+3}{4}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4\,!}

Posté par Profil Ramanujanre : Produits d'entiers 04-04-20 à 08:12

Bien vu l'exemple donc la réponse semble être 24.

Posté par Profil Ramanujanre : Produits d'entiers 04-04-20 à 08:13

Il faudrait que je montre que P est divisible par 2 \times 3 \times 4 mais je n'ai pas d'idées.

Posté par
verdurinre : Produits d'entiers 04-04-20 à 08:38

Sur quatre entiers consécutifs il y a un multiple de 3 et deux nombres pairs.
Un des deux nombres pairs est un multiple de 4.

Leur produit est un multiple de 234.

Posté par Profil Ramanujanre : Produits d'entiers 04-04-20 à 18:52

Ok merci.

Posté par
verdurinre : Produits d'entiers 04-04-20 à 18:54

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