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produits scalaire et relations

Posté par anthony595 (invité) 27-02-05 à 12:08

énoncé:
ABCD est un carré de coté a , le point I est le milieu du segment[DA] , le but de ce paragraphe est de demontrer que l'angle téta= l'angle ACI est le meme dans tous les carrés , c'est a dire, qu'il ne dépend pas de la longueur du coté. (voir figure reproduite)
pour cela on calcul d'abord l'angle teta, a l'aide du produit scalaire suivant.

1) accomplis :
CI²=CD²+DI²
   =a²+(a/2)²
   =a²+(a²/4)
   =(5a²)/4
CI=raCIne de( (5a²)/4  )
  =raCIne de( 5 ) fois a, le tout sur 2
    
CA=a fois raCIne de 2

donc CI•CA=CI fois CA fois cosinus teta
          = raCIne de( 5 ) fois a, le tout sur 2         fois a racine de 2   fois cosinus teta
          = ((a²/2) fois racine de 10) fois cos teta

(SI VOUS SOUHAITEZ QUE JE SCAN MON BROUILLON POUR MIEUX COMPRENDRE, DITES LE)

2) démontrer que le vecteur CI=1/2 de (vecteur CA+ vecteur CD)

3) déduisez en que CI•CA=3/2 de a²

voila, jai testé 2 méthode mais je ne comprends pas comment arriver au 2)
un coup de pouce?
merci!


produits scalaire et relations

Posté par
Nightmarere : produits scalaire et relations 27-02-05 à 12:21

Bonjour

\vec{CI}=\vec{CD}+\vec{DI}
\vec{CI}=\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{DA}
\vec{CI}=\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{DC}+\frac{1}{2}\vec{CA}
\vec{CI}=\frac{2}{2}\vec{CD}-\frac{1}{2}\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{CA}
\vec{CI}=\frac{1}{2}\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{CA}
\vec{CI}=\frac{1}{2}\(\vec{CD}+\vec{CA}\)


Jord

Posté par anthony595 (invité)re : produits scalaire et relations 27-02-05 à 12:34

réponse correct est bien présenté en 13 minutes! ca c'est du bon !
merci beaucoup! jvai tenté de trouver le 3) avec ca :þ

Posté par
Nightmarere : produits scalaire et relations 27-02-05 à 12:36

Bon courage

N'hésites pas si tu as un probléme


Jord

Posté par anthony595 (invité)re : produits scalaire et relations 27-02-05 à 14:40

encore moi =)
pour repondre a la troisieme question il faut faire disparaitre le cos teta, c'est ce que j'ai fait
mais le resultat devrait  etre (3/2) de a²et non pas a²racine de 2

voyez vous mon erreur?
(je sais c'est mal écrit, esperons que vous compreniez)


produits scalaire et relations

Posté par
Nightmarere : produits scalaire et relations 27-02-05 à 15:33

Re

Je ne comprends pas , dans le premier exercice tu marques que CI=\frac{\sqrt{5}a}{2}

et la tu viens de marquer :
CI=\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{a}{2}


Jord

Posté par anthony595 (invité)re : produits scalaire et relations 27-02-05 à 16:14

oui parceque d'apres la deuxieme question nous venons de demontrer que a ricene de 2 sur2 + a/2 = a racine de 5 sur2

mais si je prend la premiere égalité, le probleme ne change pas :s

produits scalaire et relations

Posté par
Nightmarere : produits scalaire et relations 27-02-05 à 16:18

Non , tu ne viens pas de démontrer ce que tu as mis , tu as juste démontré que deux vecteurs sont égaux .

Ce que tu écris équivaut à dire que :
||\vec{CI}||=||\frac{1}{2}\vec{CD}||+||\frac{1}{2}\vec{CA}||
ce qui est faux .

On a bien :
||\vec{CI}||=||\frac{1}{2}\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{CA}||
mais
||\frac{1}{2}\vec{CD}+\frac{1}{2}\vec{CA}||\red\huge\no=||\frac{1}{2}\vec{CD}||+||\frac{1}{2}\vec{CA}||


Jord

Posté par anthony595 (invité)re : produits scalaire et relations 27-02-05 à 16:43

alors ca! je ne savais pas! mais alors comment pourrais t-on developper l'égalitée ci.ca= (1/2ca+1/2cd)ca*costeta
puisque la question indique bien de DEDUIRE de la question 2)

Posté par
Nightmarere : produits scalaire et relations 27-02-05 à 17:05

Moi j'aurais écrit :

\begin{tabular}\vec{CI}.\vec{CA}&=&\(\frac{1}{2}\vec{CA}+\frac{1}{2}\vec{CD}\).\vec{CA}\\&=&\frac{1}{2}CA^{2}+\frac{1}{2}\vec{CD}.\vec{CA}\\&=&\frac{1}{2}CA^{2}+\frac{1}{2}||\vec{CD}||\times||\vec{CA}||\times cos(\vec{CA},\vec{CD})\end{tabular}

Je te laisse continuer


Jord

Posté par anthony595 (invité)re : produits scalaire et relations 27-02-05 à 20:16

c'est la bonne methode!
mais je n'aboutis pas encore une fois
que pensez vous de mon developpement?

toujours connecté!
(quelle générosité! vous passez votre dimanche a aider les matheux en herbe, franchment respect!)

produits scalaire et relations

Posté par
Nightmarere : produits scalaire et relations 27-02-05 à 20:43

Re

\rm\vec{CI}.\vec{CA}=\frac{1}{2}CA^{2}+\frac{1}{2}||\vec{CA}||\times||\vec{CD}||\times cos(\vec{CA},\vec{CD})

On a :
1)\rm CA=\sqrt{2}a
donc
\rm\frac{1}{2}CA^{2}=a
et
\rm||\vec{CA}||=\sqrt{2}a

2)\rm CD=a
donc
\rm||\vec{CD}||=a

3) \rm cos(\vec{CA},\vec{CD})=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}

On en déduit donc :
\rm\begin{tabular}\vec{CI}.\vec{CA}&=&a^{2}+\frac{1}{2}\times\sqrt{2}a\times a\times\frac{1}{\sqrt{2}}\\&=&a^{2}+\frac{1}{2}a^{2}\\&=&\fbox{\frac{3}{2}a^{2}}\end{tabular}



Jord

Posté par anthony595 (invité)re : produits scalaire et relations 28-02-05 à 12:07

donc mon erreur est ici :
1demi de ca² =1/2 de (a2)²
             =1/2 de 2a²
             =a²

c'est bizar ca me semblait correct, merci bocoup jord, c'est vraiment trop sympa!

Posté par
Nightmarere : produits scalaire et relations 28-02-05 à 13:37


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