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Produits scalaires

Posté par cath (invité) 30-03-05 à 17:19

Bonjour à tous. Je n’arrive pas à faire un exo de géométrie. Pouvez-vous me donner un coup de main. Merci.
On considère un cube ABCDEFGH. On note I et J les milieux des arêtes (GH) et (BF). P est intersection des droites (EG) et (FI). Q est intersection des droites (FC) et (GJ). Il faut établir, par deux méthodes différentes, que la droite (PQ) est orthogonale aux droites (EG) et (FC).
Questions :
Etablir que les points P et Q sont les centres de gravité respectifs de FGH et FBG.
Démontrer que (tout en vecteur) 3 PQ = GB + GF – GE
Calculer les produits scalaires 3PQ*EG et 3PQ*FC et conclure.
En introduisant un repère orthonormal adapté à la résolution du problème, exprimer les coordonnées de vecteur EG, vecteur FC, P, Q et vecteur PQ. Démontrer la propriété annoncée.
J'ai essayé de commencer et mais je bloque . J'ai noté P centre de gravité de FGH donc vecteurs PF + PG + PH = 0. Idem pour l'autre centre Q. Ensuite, comment faire? Merci de m'aider.

Posté par dolphie (invité)re : Produits scalaires 30-03-05 à 18:07

Salut,

1. P centre de gravité du triangle FGH:
Placons nous dans le plan EFGH.
EFGH est un carré, donc ses diagonales se coupent en leur milieu O.
Ainsi: (FI) est la médiane issue de F du triangle FGH; et (GO) est la médiane issue de G du triangle FGH, P étant l'intersection de ces deux médianes, c'est le centre de gravité du triangle.

De même tu démontres que Q est le centre de gravité du triangle FBG en te placant dans le plan BCGF.

Posté par dolphie (invité)re : Produits scalaires 30-03-05 à 18:17

2. On a donc:
$\vec{PG}+\vec{PF}+\vec{PH}=\vec{0}$
et $\vec{QG}+\vec{QF}+\vec{QB}=\vec{0}$

$\vec{PQ}=\vec{PG}+\vec{GQ}$
$\vec{PQ}=\vec{PF}+\vec{FQ}$
$\vec{PQ}=\vec{PH}+\vec{HB}+\vec{BQ}$
par conséquent, en sommant terme à tere:
$3\vec{PQ}=\vec{PG}+\vec{GQ}+\vec{PF}+\vec{FQ}+\vec{PH}+\vec{HB}+\vec{BQ}$
d'après les égalités du centre de gravité on a:
$3\vec{PQ}=\vec{HB}$
et $\vec{HB}=\vec{HE}+\vec{EG}+\vec{GB}$
Or: $\vec{EG}=-\vec{GE}$ et $\vec{HE}=\vec{GF}$
car EFGH est un carré.

D'ou: $\vec{HB}=\vec{GF}-\vec{GE}+\vec{GB}$ et on en déduit:
$3\vec{PQ}=\vec{GF}-\vec{GE}+\vec{GB}$

***Edit Nightmare***

Posté par cath (invité)re : Produits scalaires 30-03-05 à 18:27

Merci beaucoup dolphie pour ces réponses. Je vais continuer plus tard. Encore merci.

Posté par cath (invité)re : Produits scalaires 31-03-05 à 17:19

Rebonjour à tous,
J'ai réussi à calculer les produits scalaires 3PQ*EG et 3PQ*FC : les produits sont nuls et je conclue en disant les droites sont orthogonales . Par contre, je ne sais pas si AB*BA= AB^2 ou 2 AB ou 0. Je ne me suis pas trop cassée la tête car peu importe le résultat, ça s'annule à la fin. Mais je voudrais savoir pour moi-même.
Autre chose encore SVP : je n'arrive pas à faire la question "En introduisant un repère orthonormal adapté à la résolution du problème, exprimer les coordonnées de vecteur EG, vecteur FC, P, Q et vecteur PQ. Démontrer la propriété annoncée". pouvez-vous m'aider . merci.

Posté par dolphie (invité)re : Produits scalaires 31-03-05 à 20:06

$\vec{AB}.\vec{BA}= ?$
produit scalaire de deux vecteurs colinéaires (ici ils sont même égaux!): norme de l'un*norme de l'autre s'ils sont dans le même sens, et l'opposé s'ils sont dans des sens contraires.

donc:
$\vec{AB}.\vec{BA}= - AB^2$

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