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Produits scalaires et normes

Posté par
Adri16 01-05-18 à 14:54

Bonjour j'ai un exercice pour jeudi, et je suis bloquées j'ai trouvée une réponse mais je ne suis pas sûre de mon résultat. Pouvez vous m'indiquez mes erreurs et m'aider eventuellement a les corrigées.
ABCD est un parallélogramme tel que AB=3; AC= 5 et AD= 4
Calculer (AB) ⃗.(AD) ⃗ ; (AB) ⃗.(CD) ⃗; (AB) ⃗.(CA) ⃗; (AB) ⃗.(BA) ⃗ ; (CB) ⃗.(CD) ⃗

(AB) ⃗.(AD) ⃗ = ½ (‖(AB) ⃗+(AD) ⃗ ‖² -  (‖AB‖ ) ⃗ ²- (‖AD‖ ) ⃗ ²)
(AB) ⃗.(AD) ⃗=½ (‖(AC) ⃗ ‖² -  (‖AB‖ ) ⃗ ²- (‖AD‖ ) ⃗ ²)
(AB) ⃗.(AD) ⃗=½ (5^2-3^2-4²)
(AB) ⃗.(AD) ⃗=0

(AB) ⃗.(CD) ⃗ = ½ (‖(AB) ⃗+(CD) ⃗ ‖² -  (‖AB‖ ) ⃗ ²- (‖CD‖ ) ⃗ ²)
(AB) ⃗.(CD) ⃗=½ (‖0 ⃗ ‖² -  (‖AB‖ ) ⃗ ²- (‖CD‖ ) ⃗ ²)
(AB) ⃗.(CD) ⃗=½ (5^2-3^2-3²)
(AB) ⃗.(CD) ⃗=-9

(AB) ⃗.(CA) ⃗ = ½ (‖(AB) ⃗+(CA) ⃗ ‖² -  (‖AB‖ ) ⃗ ²- (‖CA‖ ) ⃗ ²)
(AB) ⃗.(CA) ⃗=½ (‖(DA) ⃗ ‖² -  (‖AB‖ ) ⃗ ²- (‖CA‖ ) ⃗ ²)
(AB) ⃗.(CA) ⃗=½ (4^2-3^2-5²)
(AB) ⃗.(CA) ⃗=-18

(AB) ⃗.(BA) ⃗ = ½ (‖(AB) ⃗+(BA) ⃗ ‖² -  (‖AB‖ ) ⃗ ²- (‖BA‖ ) ⃗ ²)
(AB) ⃗.(BA) ⃗=½ (0^2-3^2-3²)
(AB) ⃗.(BA) ⃗=-9

Posté par
ThierryPomare : Produits scalaires et normes 01-05-18 à 15:38

Bonjour,

Sauf erreurs, l'on a

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2-\|\overrightarrow{AD}\|^2}{2}=\dfrac{\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2-\|\overrightarrow{AD}\|^2}{2}=\dfrac{\|\overrightarrow{AC}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2-\|\overrightarrow{AD}\|^2}{2}=\dfrac{25-9-16}{2}=0

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\dfrac{\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2-\|\overrightarrow{CD}\|^2}{2}=\dfrac{\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2-\|\overrightarrow{BA}\|^2}{2}=-\|\overrightarrow{AB}\|^2=-9

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=-9

\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}.(-\overrightarrow{AB})=-\|\overrightarrow{AB}\|^2=-9

Posté par
Adri16re : Produits scalaires et normes 01-05-18 à 16:15

oui je crois

Posté par
Adri16re : Produits scalaires et normes 01-05-18 à 16:40

Posté par
ThierryPomare : Produits scalaires et normes 01-05-18 à 16:44

Que veux-tu ?

Posté par
Adri16re : Produits scalaires et normes 01-05-18 à 16:44

savoir ci ce que j'ai fais est juste ?

Posté par
ThierryPomare : Produits scalaires et normes 01-05-18 à 17:10

Refais le calcul de \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}

Posté par
carpediemre : Produits scalaires et normes 01-05-18 à 18:04

salut

Citation :
ABCD est un parallélogramme tel que AB=3; AC= 5 et AD= 4
donc ABCD est un rectangle ...(par exemple d'après le théorème de Pythagore)

et que tu montres en calculant le produit scalaire AB.AD ...

que c'est maladroit (et stupide si je peux me permettre) d'utiliser la déffinition du produit scalaire par les normes alors que la relation de Chasles donne immédiatement tous les résultats

par exemple pour le deuxième (mauvais exemple)

AB.CD = AB.(-AB) = -AB^2 = -9

puisque ABCD est un parallélogramme

et pour le troisième (bon exemple)

AB.CA = AB.(CB + BA) = - AB.AD - AB^2 = -9

comme trouve TP (que je salue au passage)


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