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progression harmonique A L AIDE!
Bonjour
Je n'arrive pas à traiter cet exercice.
Voilà l'énoncé:
des réels non nuls, sont dits en progression harmonique si leurs inverses sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique.
On suppose que a, b et c sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, que b, c et d sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique et que c,d et e sont en progression harmonique.
Montrer que les termes a, c et e sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique.
Re-Salut hisoka 
,
De rien pour l'autre exo, ce fut un plaisir . Mais pour celui-ci, je ne pourrais malheureusement pas t'aider (pas aujourd'hui du moins ) : j'ai aussi des devoirs figure-toi 
.
À + 
a, b et c sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique (de raison R):
b = a + R
c = a + 2R
b, c et d sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique (de raison q)
c = qb
d = q²b
c,d et e sont en progression harmonique.
1/d = 1/c + R'
1/e = 1/c + 2R'
on a le système:
b = a + R
c = a + 2R
c = qb
d = q²b
1/d = 1/c + R'
1/e = 1/c + 2R'
---
On élimine b
c = a + 2R
c = q(a+R)
d = q²(a+R)
1/d = 1/c + R'
1/e = 1/c + 2R'
---
On élimine d
c = a + 2R
c = q(a+R)
1/(q²(a+R)) = 1/c + R'
1/e = 1/c + 2R'
---
On faut sauter R'
1/(q²(a+R)) = (1/c) + (1/2)((1/e)-(1/c))
1/(q²(a+R)) = (1/2)((1/e)+(1/c))
Il reste le système:
1/(q²(a+R)) = (1/2)((1/e)+(1/c))
c = a + 2R
c = q(a+R)
---
1/(qc) = (1/2)((1/e)+(1/c))
1/q = (1/2)(c+e)/e
1/q = (1/2) (c/e) + (1/2)
2/q = (c/e) + 1
(c/e) = (2/q) - 1
c/e = (2-q)/q
e/c = q/(2-q) (1)
---
On repart de (voir plus haut):
c = a + 2R
c = q(a+R)
R = (c-a)/2
c = q(a+(c-a)/2)
c = aq + (cq/2) - (aq/2)
c = (aq/2) + (cq/2)
c(1-(q/2)) = aq/2
c(2-q) = aq
c/a = q/(2-q) (2)
---
(1 et (2) ->
e/c = q/(2-q)
c/a = q/(2-q)
->
c/a = e/c = q/(2-q)
Et donc a, e et c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q/(2-q)
-----
Sauf distraction.
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