On travaille dans l'espace ? muni de quelle métrique ? quelle norme ? quel produit scalaire ?

Ce qui est bizarre c'est justement que l'ensemble sur le quel on projette n'est pas un espace vectoriel. c'est là que je coince.  

Salut,

Traville t on forcément avec des polynômes réels?
Dans ce cas, es tu sûr  de ne pas connaître un espace vectoriel où tous les polynôme sont scindés ?

Euu je pense qu'on travaille sur les polynomes réels.

un sous espace vectoriel de R2[X] où tous les polynômes sont scindés, eu non je connais pas ?

Dans un espace métrique (tout court) ,

la distance d'un élément à une partie non vide de est toujours bien définie par axiomatique de :

tu vois donc qu'à priori aucune structure de A n'est exigible _{sauf erreur bien entendu}

Ah ok Très bien. Donc J'essaye alors:

si on note H le sous ensemble des polynomes de degrés inférieur à 2 scindés et on introduit la norme 2 "N2" c'est à dire l'application qui à un polynome
a X^2 + b X + c associe ( a^2 + b^2 + c^2 )^(1/2)

d(x^2+1, H ) = inf{ N2( X^2+1 - a X^2-b X-c ) / (a,b,c) dans R et b^2-4 ac positif )

or N2( X^2+1 - a X^2-b X-c )= [ (1-a)^2 + b^2 + (1-c)^2 ]

et là on étudie alors le minimum de la fonction
f(a,b,c) = [ (1-a)^2 + b^2 + (1-c)^2 ] avec la condition en plus b^2-4ac positif

bizarre le seul point critique ( qui annule les 3 derivées partielles ) est (1,0,1) et ne vérifie pas b^2 - 4 ac positif ??

il n'y'a rien de bizarre là dedans c'est ce qu'on appelle une étude d'extremums liés :

on doit minimiser la quantité sous la contrainte

_{le point critique que tu as trouvé serait bon pour une étude d'extremums libres ce qui n'est pas le cas ici sauf erreur bien entendu}

Si mes calculs sont bons je trouve (par la méthode des multiplicateurs de Lagrange) que

et que cette distance est atteinte en les deux polynômes scindés de degré deux : <sub>sauf erreur bien entendu

remarque : En général dans un evn de dimension finie la distance d'un vecteur à une partie fermée est toujours atteinte</sub>

Elhor pourrais tu détailler tes calculs please ?

Bonjour Shake et Elhor,

Les résultats donnés par Elhor sont exacts.
On peut les obtenir simplement en écrivant:
et en cherchant le point critique de cette derinère fonction g(a,c).
On trouve a=c=1/3 d'où le minimum quand b=2/3.

Très bien Merci à vous