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Projecteurs
Bonsoir,
Soient p et q deux projecteurs de E.
1-On suppose que poq=0 . On note r=p+q-qop. Montrer que r est un projecteur de noyau Ker(p) Ker(q) et d'image Im(p)+Im(q) (somme directe).
2-On suppose que p et q commutent. Montrer que poq est le projecteur de E sur Im(p)Im(q) parallèlement à Ker(p) + Ker(q).
J'arrive pas à trouver une solution à la 2ème question.
bonsoir
tu peux déjà montrer que Im(p o q) = Im(p)
Im(q)Merci beaucoup pour votre indication.
Maintenant il me reste seulement à prouver que ker(p o q)
La décomposition de x dans ker(p) + ker(q) ne m'est pas évidente. (x étant dans ker(p o q)
salut
soit (p o q)x = 0 <=> p[q(x)] = 0 donc q(x) € Ker p
posons y = q(x)
de x = x - p(x) + p(x) (décomposition unique) on en déduit que x - p(x) = q(x) <=> x = p(x) + q(x)
reste à vérifier que p(x) € Ker q (puisque q(x) € Ker p)
...
salut
soit (p o q)x = 0 <=> p[q(x)] = 0 donc q(x) € Ker p
posons y = q(x)
de x = x - p(x) + p(x) (décomposition unique) on en déduit que x - p(x) = q(x) <=> x = p(x) + q(x)
reste à vérifier que p(x) € Ker q (puisque q(x) € Ker p)
...
Merci beaucoup
pour tout projecteur p : x = x - p(x) + p(x) avec x - p(x) € Ker p et et (évidemment) p(x) € Im p
et cette décomposition est unique car Im p et Ker p sont supplémentaires ...
pour tout projecteur p : x = x - p(x) + p(x) avec x - p(x) € Ker p et et (évidemment) p(x) € Im p
et cette décomposition est unique car Im p et Ker p sont supplémentaires ...
Ouais maintenant ça va (on a aussi p(x) est dans ker(q) et c'est fait), mais je pense pas qu'on a q(x)=x-p(x).
Merci pour votre disponibilité.
Im q
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