Salut!

Ca depend.... Comment tu definis une projection?

Parce que dans certains cours, ce que tu as ecrit est la definition meme d'un projecteur.

A+
biondo

Il paraît clair que par définition un projecteur est un projecteur, cad une application qui envoie l'espace sur un sev parallèlement à un supplémentaire.

Soit f linéaire tq fof=f

Notons E=Im f et F=Ker f

1) E et F sont en somme directe. En effet soit x dans l'intersection.
Alors x=f(y) pour un certain y, et f(x)=0, i.e. x=f(y)=fof(y)=0. Donc l'intersection est vide

2) La somme de E et F est égale à tout l'espace.

Soit x quelconque, remarquons que x=f(x) + (x-f(x)).

Alors f(x) appartient à E tandis que f(x-f(x))=f(x)-fof(x)=f(x)-f(x)=0 donc x-f(x) appartient à F.

Cela prouve que E et F sont supplémentaires.

Montrons maintenant que f est le projecteur sur E parallèlement à F.

On a vu x=f(x) + (x-f(x)) avec f(x) appartient à E, x-f(x) appartient à F.

Par définition de la projection, f(x) est donc le projeté de x sur E parallèlement à F. CQFD

un tout grand merci.....