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Projection de vecteur

Posté par
lelaitcbon
13-09-20 à 22:29

Bonsoir, j'ai du mal à decomposer un vecteur selon les vecteurs unitaires

normalement j'utilise les notions de trugonometrie pour projeter un vecteur mais cela me donne seulement un resultat avec des normes
par exemple : normeUX=cosa.normeUZ
Or moi je veux exprimer en vecteur (un vecteur selon 2 autres vecteurs)
par exemple : vecteur Uz=1/3Ux+2Uy

un exemple :

On considère un carré ABCD de côté a et de centre O

je veux exprimer le vecteur ur (non representé sur le schema mais considerons qu'a la place du vecteur Ec(O), il s'agit du vecteur ur orienté de 0 vers A) selon les vecteurs Ux et Uy

Or dans la correction on me dit que :
OA^{2}=OB^{2}=OC^{2}=OD^{2}=\frac{1}{2}a^{2}

\vec{Ur}(AO)=\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{ux}-\frac{\sqrt{2}}2}\vec{uy}
\vec{Ur}(BO)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{ux}-\frac{\sqrt{2}}2\vec{uy}
\vec{Ur}(CO)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{ux}+\frac{\sqrt{2}}2\vec{uy}
\vec{Ur}(DO)=+\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{ux}+\frac{\sqrt{2}}2\vec{uy}

Je ne comprends pas comment sont ils parvenus a un tel resultat

Merci de m'éclairer sur la decomposition vectorielle svp

Projection de vecteur

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 13-09-20 à 22:52

Salut, en gras les vecteurs:
Projettons le centre O sur le côté BC, et nommons ce point H. On voit qu'il s'agit d'un triangle isocèle et donc HOB=OBH=45°
Prenons BO, BO = -sin(45°)ux -cos(45°) uy

Pour voir le vecteur de ux: tu as l'angle OBH, tu veux le côté opposé, tu as l'angle et l'hypoténuse donc tu utilises sin=opp/hyp et donc opp=sin*hyp, il s'agit d'un vecteur unitaire et donc de norme 1 (hypoténuse=1) et il faut mettre un moins car on va du côté négatif. De même pour le vecteur uy.

En espérant avoir été clair

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 13-09-20 à 23:03

Bonsoir merci bcp pour votre réponse

donc si j'ai bien compris je peux bien utiliser la relation cos=adj/hyp meme pour les vecteurs

donc si je reprends votre vecteur BO avec alpha = l'angle OBH

cos\alpha =\frac{\parallel \vec{Uy}\parallel }{\parallel \vec{OB\parallel }}
sin\alpha =\frac{\parallel \vec{Ux}\parallel }{\parallel \vec{OB\parallel }}

mais pourquoi est ce que j'ai dans ma relation la norme de OB ? doit on calculer la longueur OB et l'incorporer dans la relation ?

désolé au final je me suis embrouillé

mais quand vous dites que opp=sin.hyp et que le vecteur est unitaire don hyp=1
pourquoi est ce que hyp correspond au vecteur Ux alors que pour moi je vois dans le triangle OBH que l'hypothenuse correspond a OB ?

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 13-09-20 à 23:27

J'ai fait une erreur dans mon message précédent, k'ai considéré le vetrur OB et non ur.
On souhaite le vecteur unitaire ur (direction: (OB), sens de B vers O et de norme 1)

On peut utiliser cos et sin avec des scalaires.

On peut écrire le vecteur unitaire ur comme ceci:
ur = x ux + y uy

(Dans un triangle rectangle, on sait que cos() = côté adjacent/hypoténuse et sin() = côté opposé/hypoténuse)

Déterminons x:
Déjà on peut s'aperçevoir qu'il est de signe négatif car le vecteur se déplace du sens des x négatifs.
Faisons un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la norme du vecteur ur (donc 1).
x(côté opposé) = sin(45°)*1(hypoténuse)
Idem pour y.

On obtient bien le résultat de ta feuille ur(BO)

Projection de vecteur

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 13-09-20 à 23:55

Oh super ! je crois avoir un peu compris la démarche !


si je le fais :
sin\alpha = \frac{x}{hyp}=\frac{x}{1}
x=sin\alpha
y=cos\alpha
x selon -ux et y selon -uy


donc ur=-sinaUx-cosaUy

il faut donc considérer a chaque fois que l'hypothénus vaut 1 pour pouvoir simplifier la relation ?

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:09

pour un autre exemple pour que je comprenne bien

cos\alpha =\frac{Px}{\parallel \vec{p2\parallel } }
Px=cos\alpha .\parallel \vec{p2\parallel }
Px=cos\alpha .p2

\vec{p2}=x\vec{Ux}
avec x=Px
donc
\vec{p2}=cos\alpha p2\vec{Ux} ?

N'est ce pas grave si il ny a pas de composante selon Uy ? (qui n'est pas defini dans mon exercice)

Il y a quand même une chose qui m'embrouille, c'est que dans l'exercice du carré, on a voulu prendre hypothénus=1 et on y  est arrivé mais pour ce dernier exercice, je ne l'ai pas pris =1 mais remplacé par la norme de p2

et si pour le carré on n'avait pas pris l'hyp=1 j'aurais eu :
\vec{ur}=-\parallel \vec{ur}\parallel sin\alpha \vec{Ux}-\parallel \vec{Ur}\parallel cos\alpha \vec{Uy}
et pourtant on ne connaît pas la norme de Ur ?

(je crois que je pars sur une mauvaise route qui m'embrouille encore plus   )

Projection de vecteur

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:13

Oui c'est ça !
Pour un vecteur unitaire, sa norme vaut toujours 1 (d'où son nom "uni") et il sert à montrer la direction et le sens d'un vecteur.
Pour information, le vecteur unitaire c'est le vecteur sur la norme.
Exemple: ur = OB/OB
Et donc tu voies bien que la norme de ur est 1.

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:18

Dernière phrase de mon message précédent:
||ur||=||OB||/OB=1

Non, cest obligé de marqué les 2 composantes dans un vecteur. Tu peux par contre marquer P2x = P2.cos ux

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:19

Sur le carré, les vecteurs unitaires sont pourtant Ux et Uy n'est ce pas ? Pourquoi est ce que Ur serait également un vecteur unitaire ?

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:24

Il existe plusieurs types de coordonnées, un repère cartésien avec comme vecteurs unitaires ux uy ( et uz en 3D), un repère polaire avec comme vecteur unitaire ur et u, cylindrique, sphérique...
Il peut être utile de changer de repère pour facilité certains calculs.

Pour reperer un point dans un repere cartesien, tu utilise x et y et en polaire tu vas utiliser la distance par rapport à ton origine (ça te fais un cercle) et un angle, tu as donc reperer ton points.

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:26

Cette image peut t'aider à visualiser

Projection de vecteur

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:27

D'accord je comprends
Donc dans notre cas, on a remplacé l'axe Ux Uy par celui de Ur  ?

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:27

Ici OA = x ux + y uy = rur

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:28



[quote]Donc dans notre cas, on a remplacé l'axe Ux Uy par celui de Ur  ?/quote]
Oui c'est ça !

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:29

Ah donc j'aurais également pu considérer le vecteur p ( Exo 2) comme un vecteur unitaire ?
Ce qui m'aurait fait une relation du type :
p2=cosaUx?

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:32

Oui mais attention, il faut prendre les 2 composantes en comptes (x et y)
Ce qui tu as écris est faux.
Il faudrait écrire:
P2x = cos(a) ux
Ou bien:
P2 = cos(a) ux + sin(a) uy

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:37

D'accord
Mais le vecteur Uy n'est pourtant pas défini dans mon exercice, comment faire ?
Je n'ai seulement le vecteur Ux

Mais donc j'ai le choix entre
P2x=cosa[b]Ux[/b]
Et
P2x=p2cosa[b]Ux[/b]
Selon que je considere p2 unitaire ou non

Lequel choisir ? sachant que  les 2 ne vont pas me conduire aux mêmes résultats dans des calculs ultérieurs ?

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:38

Quand tu projette/change de repère, la direction le sens et la norme de ton vecteur ne doit pas changer.
C'est un bon moyen pour voir si on ne s'est pas trompé.

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:41

Ça devrait mener au même je pense. À vrai dire je n'ai jamais vu de vecteurs dans une base qui ne sont pas unitaire.
Poste la suite si tu veux

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:42

Désolé je n'ai toujours pas compris lequel choisir

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:46

Prends ta 2ème proposition

Posté par
lelaitcbon
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:46

Enfaîte c'est un exercice de physique donc je vous mets la correction
Un exercice sur l'énergie potentielle

C'est le 23-24,

Donc je me demain, si on avait eu p2 unitaire, j'aurais eu donc la relation du type
p2x=cosaUx
Par conséquent il me manquera un p2 dans ma relation de l'énergie potentielle qui est p1p2 au numérateur

***Image supprimée conformément au point n°3 de A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI et [lien]***

Posté par
loshleo
re : Projection de vecteur 14-09-20 à 00:53

Si P2 est un vecteur unitaire, oui tu aurais eu p2x=cosa ux

Dans ton exercice tu as un produit scalaire:
u.v=u.v.cos(angle u et v)
Et la norme de Epi doit certainement etre K2p1/r3



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