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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Projection et tribu engendrée

Posté par
Lili6
14-08-18 à 21:51

Bonsoir à tous, il y'a cet exercice qui me perturbe

Soient ((X_k, \mathcal{A}_k))_{1\leq k \leq n} une famille finie d'espaces mesurables,

X:= X_1\times...\times X_n et \pi_k : X \rightarrow X_k la k-ième projection. \mathcal{A}= \bigotimes_{k=1}^{n} \mathcall{A}_k est la tribu sur X engendrée par

 \mathcal{E} = \{ A_1\times... \times A_n / A_k \in \mathcal{A}_k ,
 \\ \forall 1 \leq k \leq n \}

Montrer que \mathcal{A} est engendrée par

\mathcal{F} := \{ \pi^{-1} (E_k) / E_k \in \mathcal{A}_k et 1 \leq k \leq n \}

Ce truc là ''\pi^{-1} (E_k)'' ça me gène j'arrive pas à visualiser, du coup j'arrive pas à le resoudre...
Merci d'avance

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 14-08-18 à 22:15

Oups j'aurais dû le mettre dans Probabilités ou autre désolé !!!

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 14-08-18 à 22:54

Bonjour Lili6.
Tu connais la notion d'image réciproque d'un ensemble par une application !

Ici, c'est exactement le cas : l'application \pi_k est définie sur X et à valeur dans X_k.

donc \pi_k^{-1}(E_k) est l'élément de X, image réciproque de E_k par \pi_k.

\pi_k^{-1}(E_k) = \{x\in X~/~\pi_k(x) \in E_k\}.

Au passage, ce n'est ni des probas ni des des stats ou que sais-je, c'est de la théorie des ensembles à l'état pure

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 14-08-18 à 23:15

Alors on peut même être plus précis :

On a \pi^{-1}_k(E_k) = X_1\times \cdots \times X_{k-1} \times E_k \times X_{k+1} \times \cdots \times X_n

Posté par
SkyMtn
re : Projection et tribu engendrée 14-08-18 à 23:23

Bonsoir. Tu peux visualiser \pi_k^{-1}(\:\cdot\:) comme des tranches de X.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 20:25

Bonsoir, merci. Si j'ai bien compris,

\forall 1 \leq k \leq n, A_k \in \mathcal{A}_k

\pi_k^{-1}(A_k)=X_1 \times ...\times X_{k-1} \times A_k \times X_k \times ...\times X_n

\Rightarrow \cap_{k=1}^{n} \pi_k^{-1}(A_k)= A_1 \times ...\times A_n

Donc  \cap_{k=1}^{n} \mathcal{F} = \mathcal{E}     ???
Ensuite je conclus comment ?

Posté par
carpediem
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 20:32

salut

jsvdb @ 14-08-2018 à 23:15

Alors on peut même être plus précis :

On a \pi^{-1}_k(E_k) = X_1\times \cdots \times X_{k-1} \times E_k \times X_{k+1} \times \cdots \times X_n
pas d'accord ... ce me semble-t-il ...

\pi^{-1}(E_k) = \{E_1 \times E_2 \times ... \times E_{k - 1} \times E_k \times E_{k + 1} \times .. \times E_n  /  \forall i \ne k  : E_i \in \matcall A_i \}

Posté par
verdurin
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 21:26

Salut carpediem.
Je ne suis pas d'accord avec toi.
\pi^{-1} est ensembliste.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 21:26

Salut carpediem

\pi_k^{-1} (E_k)\subset X par définition Je ne suis pas sur que ton ensemble inclus dans X

Posté par
carpediem
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 21:33

verdurin @ 15-08-2018 à 21:26

Salut carpediem.
Je ne suis pas d'accord avec toi.
\pi^{-1} est ensembliste.
justement !! n'ai-je pas donner un ensemble ? (peut-être faux éventuellement)

Posté par
verdurin
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 21:48

Voir la réponse de jsvdb.

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 22:46

@carpediem : salut.
Si tu prends par exemple \pi_3 : \R \times \R \times \R \rightarrow \R;~\pi_3(x;y;z) = z et si A est une partie de \R alors \pi_3^{-1}(A) = \R \times \R \times A.

Lili6 @ 15-08-2018 à 20:25

Donc  \cap_{k=1}^{n} \mathcal{F} = \mathcal{E}     ???

Non,  \cap_{k=1}^{n} \mathcal{F} = \mathcal{F}

Par contre, oui, on a bien ceci :
Lili6 @ 15-08-2018 à 20:25

\pi_k^{-1}(A_k)=X_1 \times ...\times X_{k-1} \times A_k \times X_k \times ...\times X_n
Ensuite je conclus comment ?

Tu conclus en disant dans un premier temps que tout élément de \mathcal{F} est élément de \mathcal{E} de façon triviale. Donc \sigma(\mathcal{F}) \subset \sigma(\mathcal{E}).
Ensuite, tu dis qu'un élément de \mathcal{E} est obtenue par une intersection d'au plus n éléments de \mathcal{F}. Donc successivement, on a que \mathcal{E} \subset \sigma(\mathcal{F}) puis \sigma(\mathcal{E}) \subset \sigma(\mathcal{F}).
D'où l'égalité des tribus \sigma(\mathcal{F}) \text{ et } \sigma(\mathcal{E})

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 23:46

Petit complément.

Oui, on a bien ceci : \bigcap_{k=1}^{n} \pi_k^{-1}(A_k)= A_1 \times ...\times A_n

Le conclusion est sans changement.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 23:53

Super merci @jsvdb je crois comprendre la méthode pour résoudre l'exercice

Mais y'a deux trois trucs qui me fatiguent :

En fait l'application \pi_k c'est
\pi_k : (X, \mathcal{A}) \rightarrow (X_k,\mathcal{A}_k)

Peut-on écrire \pi_k^{-1} (X_k) \subset X et \pi_k^{-1}(A_k)\subset \mathcal{A} ?

Si c'est juste pourquoi \pi_k^{-1} =X_1 \times ...\times A_k \times ...\times X_n (A_k \in \mathcal{A}_k)

Et non \pi_k^{-1} = A_1 \times...\times A_k \times ...\times A_n (comme
 \\   \pi_k^{-1}(A_k) \subset \mathcal{A})?

Si un élément de \mathcal{E} est obtenu par intersections d'éléments de \mathcal{F} comme tu le dis, pourquoi le \cap_{k=1}^n \mathcal{F}=\mathcal{E} est faux , je ne comprends pas le \cap_{k=1}^n \mathcal{F}=\mathcal{F}

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 15-08-18 à 23:59

En plus j'ai comme l'impression que \mathcal{E}= \mathcal{F}

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 00:32

Lili6 @ 15-08-2018 à 23:59

En plus j'ai comme l'impression que \mathcal{E}= \mathcal{F}

Non, tout élément de \mathcal{E} ne s'écrit pas nécessairement sous la forme des éléments de \mathcal{F}.
Si c'était le cas, l'exercice n'aurait aucun intérêt. Ou alors on demanderait simplement de montrer l'égalité en question.

Lili6 @ 15-08-2018 à 23:53

Si un élément de \mathcal{E} est obtenu par intersections d'éléments de \mathcal{F} comme tu le dis, pourquoi le \cap_{k=1}^n \mathcal{F}=\mathcal{E} est faux , je ne comprends pas le \cap_{k=1}^n \mathcal{F}=\mathcal{F}

Simplement \cap_{k=1}^n \mathcal{F}=\mathcal{F} \cap \mathcal{F} \cap \cdots \cap \mathcal{F} n fois.

Tu confonds avec l'ensemble des intersections finies d'éléments de \mathcal{F} qui n'a pas de notation particulière.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 00:40

jsvdb @ 15-08-2018 à 23:46



\bigcap_{k=1}^{n} \pi_k^{-1}(A_k)= A_1 \times ...\times A_n



Cela implique \bigcap_{k=1}^{n} \mathcal{F}= \mathcal{F} ?

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 00:52

Lili6 @ 15-08-2018 à 23:53


En fait l'application \pi_k c'est \pi_k : (X, \mathcal{A}) \rightarrow (X_k,\mathcal{A}_k)

Non, \pi_k : X \rightarrow X_k. Les tribus n'entrent pas encore en jeu à ce niveau.

Lili6 @ 15-08-2018 à 23:53

Peut-on écrire \pi_k^{-1} (X_k) \subset X et \pi_k^{-1}(A_k)\subset \mathcal{A} ?

Oui pour le premier et le second c'est \pi_k^{-1}(A_k)\in \mathcal{A} (ou \{\pi_k^{-1}(A_k)\}\subset \mathcal{A}) puisque \pi_k^{-1}(A_k) \in \mathfrak P(X) et \mathcal{A} \in \mathfrak P(\mathfrak P(X))

Lili6 @ 15-08-2018 à 23:53

pourquoi \pi_k^{-1} =X_1 \times ...\times A_k \times ...\times X_n (A_k \in \mathcal{A}_k)

Et non \pi_k^{-1} = A_1 \times...\times A_k \times ...\times A_n (comme
 \\   \pi_k^{-1}(A_k) \subset \mathcal{A})?


Précisément, \pi_k^{-1}(A_k) = \{(x_1;\cdots;x_{k-1};a;x_{k+1};\cdots;x_n)~/~x_i \in X_i,~i\in \{1,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n\},~a\in A_k\}  .
Autrement dit, \pi_k^{-1}(A_k) est l'ensemble des éléments de X dont la k-ième projection (coordonnée) est dans A_k.

C'est donc bien X_1 \times ...\times X_{k-1}\times A_k \times X_{k+1}\times...\times X_n.

Si on écrit \pi_k^{-1}(A_k) = A_1 \times...\times A_k \times ...\times A_n, il risque de manquer pas mal de monde à l'appel.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 00:54

C'est bon !!!Ça y est je crois que j'ai tout compris  et le \pi_k^{-1} (A_k) \subset \mathcal{A} est valable que lorsque \pi_k est mesurable

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 00:57

Lili6 @ 16-08-2018 à 00:40

jsvdb @ 15-08-2018 à 23:46



\bigcap_{k=1}^{n} \pi_k^{-1}(A_k)= A_1 \times ...\times A_n



Cela implique \bigcap_{k=1}^{n} \mathcal{F}= \mathcal{F} ?

Ça n'a rien à voir. En fait, je pense que tu ne comprends pas le symbole d'intersection avec indices.

Sommairement, quand tu écris \bigcap_{i\in I}X_i c'est que tu considères tous les éléments communs à tous les X_i.

Maintenant, si tous les X_i sont égaux à un même ensemble \mathcal F alors évidemment \bigcap_{i\in I}\mathcal F= \mathcal F

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 01:02

Lili6 @ 16-08-2018 à 00:54

le \pi_k^{-1} (A_k) \subset \mathcal{A} est valable que lorsque \pi_k est mesurable

Non, ce n'est jamais valable, c'est \pi_k^{-1} (A_k) \in \mathcal{A}

Alors en fait, on aimerait que les projections soient mesurables (ça me paraît être un minimum ... ). Et c'est la notion de produit tensoriel de tribu qui est le bon outil.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 01:11

jsvdb @ 16-08-2018 à 01:02

Lili6 @ 16-08-2018 à 00: Et c'est la notion de produit tensoriel de tribu qui est le bon outil.[/quote








Produit tensoriel ?! Notre produit de tribu n'est pas tensoriel ? C'est quoi la difference avec le produit de tribu

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 01:41

l'expression "tribu produit tensoriel" (ou "produit tensoriel des tribu truc muche") désigne la tribu engendrée par les pavés mesurables.

L'expression "tribu produit" désigne une tribu quelconque sur un produit d'espace mesurable.

En pratique, on confond les deux expressions car il est difficile ensuite de poser une mesure sur une tribu produit quelconque sans se référer aux facteurs du produit. En gros, ce serait dommage d'avoir une tribu sur A et une sur B et de ne pas s'en servir pour mettre une tribu sur A x B.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 01:47

Tout est plus clair maintenant, encore merci et bonne nuit

Posté par
carpediem
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 12:35

verdurin et jsvdb : oui j'ai mal traduit ... et mal lu ce qu'avait écrit jsvdb ...

Posté par
Poncargues
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 13:23

Bonjour,
La tribu produit d'appelle produit tensoriel car elle correspond bien au produit tensoriel si on voit les tribus des deux espaces comme des F2-algèbres.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 15:29

En fait le piège c'est qu'il ya une donnée implicite dans l'écriture de \mathcal{F}

\mathcal{F} := \{ \pi_k^{-1}(E_k) /E_k \in \mathcal{A}_k et 1 \leq k\leq n \} (E_k \subset X_k)

\pi_k: X \rightarrow X_k
Donc E_k \in \mathcal{A}_k tel que E_k \subset X_k et naturellement \pi_k^{-1}(E_k) \subset X

Donc on a bien \pi_k^{-1}(E_k) = X_1 \times ...\times X_{k-1} \times E_k \times X_{k+1} \times ...\times X_n avec des X_i et non avec des A_i ou des Ei

Comme j'ai vu E_k \in \mathcal{A}_k je voulais forcément \pi_k^{-1}(E_k) \subset \mathcal{A}

Posté par
Poncargues
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 15:38

Dire E_k \in \mathcal{A}_k c'est a fortiori dire E_k \subset X_k

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 15:42

Exact, mais y'a pas que moi qui n'ai pas remarqué au premier coup d'œil

Posté par
jsvdb
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 15:51

Oui, une tribu T sur un ensemble E est une partie de l'ensemble des parties de E. Donc T \in \mathfrak P(\mathfrak P(E)) et T vérifie des propriétés. Si A \in T alors c'est une partie de E et donc A \in \mathfrak P(E) ou encore A\subset E.
C'est ce qu'on appelle génériquement une espèce de structure.
Autres exemples :
- une topologie sur E est aussi un élément de \tau \in \mathfrak P(\mathfrak P(E)) qui vérifie d'autre propriétés. C'est une autre espèce de structure.
- une structure uniforme sur E est un élément \mathcal U \in \mathfrak P(\mathfrak P(E\times E)), vérifiant certains axiomes, et dans laquelle vivent les suites de Cauchy, par exemple.

Posté par
Lili6
re : Projection et tribu engendrée 16-08-18 à 16:11

C'est parfait, j'ai vraiment appris beaucoup de choses avec ce seul exercice



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