salut

déterminer "deux vecteurs directeurs" u et v du plan et compléter par un vecteur w orthogonal à u et v pour former une base

suivant la situation normaliser ces vecteurs ...

la matrice de la projection orthogonale se déduit alors aisément dan cette base

puis grace à la matrice de passage P de la base canonique (i, j, k) à la base (u, v, w) obtenir la matrice de la projection dans la base canonique ...


montre nous tes résultats ...

REM : w s'obtient trivialement à partir de l'équation du plan ...

ainsi que u et v d'ailleurs ...

@scoatarin
Autre idée : à toi d'essayer pour savoir ce qui est plus facile.
Tu connais un vecteur orthogonal au plan.
En cherchant le réel tel que est dans le plan tu en déduis les coordonnées de la projection donc la matrice de l'application dans la base canonique.

....................
Tu obtiens du même coup la matrice de la symétrie puisque l'image de dans la symétrie sera (le réel déjà calculé).

Le vecteur n = est orthogonal au plan. d'équation x + 2y - 3z = 0 : c'est immédiatement donné par l'équation du plan.

La projection orthogonale sur la droite vectorielle est donnée par v (n.v) n.

Appliquant ce produit scalaire aux trois vecteurs e₁, e₂ et e₃ de la base canonique, on obtient :

e₁   e₁ + 2e₂ + 3e₃
e₂ 2 ( e₁ + 2e₂ + 3e₃)
e₃ -3 (e₁ + 2e₂ + 3e₃)

La matrice de la projection orthogonale de ces trois vecteurs sur la droite vectorielle est donc :



Comme  ,  la matrice de la projection sur F est :

luzak : je dirais que c'est la même idée ... mais en se passant de la recherche de u et v  ... puisqu'effectivement on peut s'en passer

D'accord, c'est la même idée mais je lui suggérais de comparer les calculs. Selon les cas ils peuvent être de complexité différente.

De plus il a utilisé une troisième idée mais "oublié" un dénominateur dans le résultat final...

En fait j'ai lu trop vite : "sa" troisième colonne de est fausse et le résultat final aussi...
D'ailleurs l'image d'un vecteur n'est pas dans le plan...

Merci bien, j'avais fait une  erreur de signe et oublié le dénominateur.

Finalement je retrouve bien la matrice  A  donnée dans le corrigé, c'est à dire :

Bonjour,

Suite à ton intervention du 08-05-18 à 12:56 : Tes calculs sont trop complexes et tu risques de perdre du temps au partiel, sans parler des erreurs de calculs. Reprenons l'idée émise par Luzak. L'on sait que est un vecteur normal au plan d'équation . Soit alors un point quelconque de l'espace affine . Il vient alors que, pour tout , le point



est un point de la droite passant par et perpendiculaire à . Déterminons l'unique réel tel que



ce qui revient à déterminer l'unique réel tel que



d'où



Ce faisant, le point



(je te laisse mettre le tout sous forme matricielle) est bien le projeté orthogonal du point sur le plan . Ainsi la matrice de cette projection est-elle (...) dans la base

ThierryPoma

J'ai mis le tout sous forme matricielle et vérifié que j'obtiens bien la même matrice;

Merci de m'avoir conseillé cette méthode proposée par Luzak.

Elle me semble effectivement plus simple à utiliser.

Demain, je continuerai  cet exercice avec la question b), car je dois maintenant m'absenter un peu.

je me demande pourquoi vous travaillez dans un espace affine ...

le plan d'équation x + 2y - 3z = 0 est un plan vectoriel

donc sauf mention contraire pourquoi travailler dans un espace affine ...

et c'est pourquoi j'introduisais deux vecteurs u et v engendrant le plan vectoriel d'équation x + 2y - 3z = 0 orthogonaux donc au vecteur w = (1, 2, -3)

et alors pour tout vecteur x de l'espace tel que x = au + bv + cw on a immédiatement p(x) = au + bv

la patrice de la projection orthogonale p est donc

1 0 0
0 1 0
0 0 0

dans la base (u, v, w)

exprimer la base canonique (i, j, k) dans cette base est relativement élémentaire

et déterminer la matrice de p dans la base (i, j, k) tout autant



de plus u et v n'ayant pas besoin d'être orthogonaux on a immédiatement :

u = (1, 1, 1) et v = (2, -1, 0) par exemple


ou encore peut-être prendre u = (3, 0, 1) est encore plus simple ...

Bonjour

une méthode possible repose sur la caractérisation du projeté orthogonal : pour tout u, p(u) est dans le sev sur lequel on projète et u-p(u) est orthogonal au sev sur lequel on projète. selon les circonstances, on commence par traduire l'une ou l'autre de ces phrases.

ici je commencerais par u - p(u) orthogonal au plan donc colinéaire à (1,2,-3) : ainsi x' = x +k, y'=y + 2k et z' = z -3k (j'appelle u = (x,y,z) et p(u)=(x',y',z'))
et ensuite on détermine k en disant que p(u) est dans : x' + 2y' - 3z' = 0, autrement dit x + 2y - 3z = -14k
tu as ainsi

ce qui te permet de retrouver ta matrice.

(c'est, écrit un peu différemment, ce que propose ThierryPoma)

@Carpi : Il faut bien prendre conscience que le jour du partiel, tout est possible. Par exemple, il aurait été possible de déterminer l'expression analytique de la projection orthogonal sur le plan affine d'équation de dont la direction est le plan vectoriel d'équation . La méthode exposée le 08-05-18 à 16:05 permet donc de trouver cette expression analytique sans trop de frais.

Scoatarin doit bien avoir en vue que tout a été fait avec le produit scalaire usuel sur . Mais, rien n'empêche de pondre un exo avec un produit scalaire sur bien plus difficile. Quel est donc un vecteur -normal au plan affine ci-dessus ?

Tout est possible...

Les espaces affines euclidiens ne sont pas au programme  (heureusement pour moi ).

J'ai terminé la question b) grâce au corrigé que j'ai compris.

C'est donc fini pour cet exercice.

Un grand merci à tous de votre aide bienveillante

donc on travaillait bien dans des espaces vectoriels ... et je pense que ce que je proposais était tout aussi efficace ...

si on veut travailler avec des changements de base, autant choisir des bases orthonormées : le calcul de l'inverse de la matrice de passage en sera grandement simplifié !