Tu devrais commencer par exprimer clairement ton problème.
Par exemple "les vecteurs x1 et y1" n'a pas de sens. x1 et y1 ne sont pas des vecteurs, ce sont les coordonnées dans un repère (orthonormé ?) dessiné en rouge dans tes schémas.

Donc, que cherches tu ? Tu as un repère orthonormé rouge obtenu par une rotation d'angle à partir du repère orthonormé noir, et tu cherches à exprimer les coordonnées d'un point dans le repère rouge en fonction des coordonnées du même point dans le repère noir ?

Si tu commences par clarifier ton histoire, tu auras pratiquement la réponse à ta question.

Pour qu'il n'y ait pas de quiproquo dans le niveau des explications : tu es en master de quoi ?

il est plus facile de faire les chose vectoriellement et d'écrire parce qu'avec les projections, il est vite fait de confondre et -, (mais ça revient au même)
fait un angle - avec ' donc =cos ' - sin ' et de même ' = sin +cos

donc d'où les coordonnées x' et y' de M dans le nouveau repère.

"Tu as un repère orthonormé rouge obtenu par une rotation d'angle \alpha à partir du repère orthonormé noir,"
Oui, je suis en master mécanique en aéronautique, je cherche à retrouver les relations suivantes :

vx1 = cos alpha.vx0 + sin alpha.vy0
vy1 = -sin alpha.vx0 + cos alpha.vy0

(j'ai mis v pour vecteur pour clarifier le problème)
x0,x1,y0,y1 sont bien des vecteurs et non pas des coordonnées.

J'ai une idée des notations habituelles en mécanique, et je suis sûr que et ne sont pas des vecteurs, mais des coordonnées.

Robot je vous ai envoyé l'énoncé de mon cours sur l'adresse mail lié à votre compte (je ne sais pas si c'était possible de l'envoyer directement par forum en éspèrant que cela vous permettra de comprendre un peu mieux mon questionnement.
Glapion je vais tenter d'utiliser votre méthode bien que je préfèrerai le faire par projection (méthode utilisée en td).

cela dit, il y a 99,9% de chance que Robot ait raison, x0,x1,y0,y1 sont bien sûr des coordonnées.
les problèmes de matrice de changement de base sont hyper classiques en physique comme en maths

Avec des flèches dessus, ça ne peut effectivement être que des vecteurs (et des vecteurs unitaires, vu le dessin). Sans flèche, c'est à coup sûr des coordonnées.



Les coordonnées du vecteur unitaire dans le repère orthonormé sont bien ; ça veut dire le projeté orthogonal du vecteur sur l'axe engendré par (resp. ) est ( resp. ). D'accord ? Et celles de sont .

Je ne comprends pas tes doutes.

Il me semble que je l'avais signalé dès le premier message que les expressions étaient vectorielles.
Mon problème est que lorsque j'essaye de retrouver les expressions par projections je trouve cela :

Dans le cas de la projection de x1:

vx0 = cos alpha.vx1
vy0 = sin alpha.vx1

Or cela nous donnes x1 = x0/ cos alpha + y0/sin alpha. (l'inverse de ce que je suis supposé trouver).
A chaque tentative je retrouve la même erreur, j'utilise les relations trigonométrique élémentaires (SOH,CAH,TOA) et je n'arrive pas à trouver mon erreur.

Excusez moi si je ne parviens pas à être clair dans mes explications..

M'enfin ???

est complètement faux !

Cette égalité voudrait dire que le vecteur est égal au vecteur multiplié par le scalaire . En particulier, devrait avoir la même direction que le vecteur , et sa longueur devrait être égale à celle de multipliée par .
Or les deux vecteurs n'ont pas même direction (sauf si ou ) et ils sont de même longueur puisqu'ils sont tous les deux unitaires.

Bonjour

tu voulais peut-être dire que le projeté de sur la droite engendrée par est ?

Ok j'ai compris merci quand même, je sais depuis le départ que mon résultat est complétement faux ce que je veux savoir c'est ou est mon erreur dans ma méthode de projection..

Est-t'il impossible d'obtenir ce résultat simplement en utilisant la trigo ?

"tu voulais peut-être dire que le projeté de sur la droite engendrée par est ?"
Oui lafol c'est ça ,j'ai jamais voulu dire que les vecteur \vec{x_1} et \vec{x_0} étaient colinéaires.

tu te rends compte que ce n'est pas facile de décrypter ce que tu écris ? ce n'était pas du tout la même chose ....

"j'ai jamais voulu dire que les vecteur \vec{x_1} et \vec{x_0} étaient colinéaires."

Mais c'est ce que tu as écrit !

Simple trigo :

Mes notations sont sûrement fausses mais ma question de départ était pourtant simple (enfin je suppose).
Pour obtenir mes résultats (complètement faux), j'ai procédé de la manière suivante:

J'ai d'abord tracé les projeté des vecteurs x1 et y1 sur les droites engendrées par x0 et y0.
Puis j'ai utilisé les règles de  trigonométrie comme ci-dessous:

projection du vecteur x1 sur x0 (x1 hypoténuse x0 adjacent)

cos alpha =  vx0/vx1
d'ou vx0 = cos alpha vx1

projection du vecteur x1 sur y0 (x1 hypoténuse y0 opposé)

sin alpha = vy0/vx1
d'ou vy0 = sin alpha vx1

Est ce que mon problème est clair à présent ? Si oui pourriez vous s'il vous plaît m'indiquez ou je me trompe.
Merci d'essayer en tout cas.

Tu fais la sourde oreille et tu récidives  en écrivant
vx0 = cos alpha vx1
soit, en mettant les flèches :

Je t'ai déjà dit pourquoi c'était complètement faux. Tu n'as pas lu ?

Re-simple trigo :

Bon ok merci le résultat est clair avec le schéma, je comprend à présent votre réaction concernant ceci  :
\vec{x_0}= \cos (\alpha)\, \vec{x_1} en décomposant x0 sur x1 et y1 séparément j'affirmais effectivement que les vecteurs x0 et x1 étaient colinéaires.
Cependant je n'arrive toujours pas à exprimer ce résultat de manière analytique en utilisant les relations trigonométriques (soh cah toa).
Pourriez vous avoir l'amabilité de me l'écrire pour la première projection, j'aimerais savoir pourquoi je trouvais l'inverse tout à l'heure. (vx1 = vx0/ cos alpha + vy0/sin alpha).
Je sais que c'est élémentaire mais j'aimerais ne plus avoir aucun doute la dessus, merci de m'éclairer.

salut

en master ... de quoi ?

dans la base orthonormée tout vecteur u s'écrit

où <a, b> est le produit scalaire des vecteurs a et b ....

Master d'ingénierie mécanique en aéronautique, je sais que ce que je demande est trivial. J'avais besoin d'une piqure de rappel, j'ai trouvé la réponse à toute mes interrogations sur un cours de première S ^^ http://xmaths.free.fr/1S/cours/cours.php?nomcours=1Strigcours&page=05
Je vous remercie pour vos réponses et plus particulièrement Robot pour sa patience.

Tout a déjà été dit. Je me cite : "le projeté orthogonal du vecteur sur l'axe engendré par (resp. ) est ( resp. )."
Mon dessin ci-dessus me semble clair. Que veux-tu de plus ? Je ne vois pas l'intérêt de répéter.

Oui tout est clair à présent, merci bien Robot.

peut-être juste signaler que la "division" que tu prétendais faire, vx0/vx1, n'a strictement aucun sens : il existe bien un produit vectoriel, en dimension 3, mais pas de division de vecteurs ....
sans compter que même si tu avais considéré les normes de ces vecteurs et pas les vecteurs eux-même, le triangle dans lequel tu prétendais écrire ton "sohca je ne sais coa" n'est pas spécialement rectangle .... il est même isocèle, puisque tes deux vecteurs sont tous les deux unitaires ....

FYI
Soh : sin= opposé/hypoténuse
Cah : cos = adjacent/hypoténuse
Toa : tan = opposé/adjacent

Et non le triangle est pas isocèle car j'appliquais mes formules  de trigo dans les triangles rectangle formés par les projetés orthogonaux de x1 sur les axes dirigés par vx0 et vy0, j'avais omis de considérer que la norme du nouveau vecteur formé grâce au projeté n'étais pas 1.
Et oui la division de vecteur n'a pas de sens.

Quel beau topic pour démontrer les formules de changement de base sur deux repères qui font un angle !
calcul qui prend au maximum une demi ligne. il y en a qui sont vraiment patients. tu as de la chance dude