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Projeté orthogonale et plan
Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant :
Nous avons un espace composé d'un repère orthonormé où les points B(-1;17;-17), A(2;3;3) et le vecteur n (2;3;-4) sont présents.
On note P le plan de vecteur normal n et passant par A .
a) Essayez de démontrer que le point H(-9;5;-1) appartient à P.
b) Démontrer que H est le projeté orthogonal de B sur P
c) En déduire la distance du point B au plan P.
d) Soit C (5;11;-5). Justifier que C est le projeté orthogonal de H sur la droite (BC).
e) Calculer la distance du point H à la droite (BC).
Réponses:
a) On sait que le plan P passe par A et qu'il a pour vecteur normal n.
On a AH (xH-xA;yH-yA; zH-zA) = (-11;2;-4)
Vérifions que n.AH=0
Donc n.AH = (2*(-11))+(3*2)+((-4)*(-4))
= (-22)+6+16 = 0
n.AH = 0 et le plan P passe par A, on en déduit que H
P
b) Pour montrer que H est le projeté orthogonal de B sur P, il faut montrer que (BH) est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan P .
J'ai eu pour idée en premier de montrer que BH.AH =0:
J'ai trouvé BH (-8;-12;16)
Donc BH.AC = 88 + (-24) + (-64) = 88-88 = 0.
Pour la suite je suis bloqué car je ne sais pas quel 2ème vecteur faut prendre à la place de x dans BH.x ?
Merci pour votre aide.
salut
b) Pour montrer que H est le projeté orthogonal de B sur P, il faut montrer que (BH) est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan P .
car on peut aussi montrer que BH est colinéaires au vecteur normal n ...
Bonjour merci pour votre aide.
Pour 2)a) je trouve k=-4
Par contre pour 2)b) il faut utiliser D (B;P) = |axB+byB+cyB+d|/
a2+b2+c2 ?
Merci
Bonjour, merci pour votre aide.
c) Donc BH = x2+ y2+z2
=(-8)2+(-12)2+162 = 429 ~ 21,54
d) Si C est le projeté orthogonal de H sur cette droite on a HC.BC = 0
Je trouve BC (6;(-6);12) et HC (14;6;(-4))
Donc HC.BC = 84 + (-36)+(-48) = 84-84 = 0
Donc C est bien le projeté orthogonal de H sur la droite BC.
e) d(H,(BC)) = HC
HC= x2+y2+z2
=142+62+(-4)2 = 262 ~ 15,75 .
C'est bon ? Merci pour votre aide
ça me semble correct ... avec deux remarques :
n'oublie pas les parenthèses dans une écriture en ligne : (a + b) 
a + b
et par contre oublie les valeurs approchées : on s'en fout et on a toujours le temps par la suite d'en donner une valeur approchée si nécessaire ...
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