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Prolongement

Posté par
ludie 29-04-11 à 15:55

Bonjour,

J'aimerais juste que quelqu'un m'explique clairement comment démontrer qu'une fonction f admet un prolongement continue sur R.
J'aimerais connaitre la méthode.

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement 29-04-11 à 15:57

Bonjour

Il faut regarder si au point où elle n'est pas définie elle admet la même limite des duex côtés. En donnant cette valeur au point en question on obtient une fonction continue.

par exemple f(x)=e^{1/x} n'est pas prolongeable en 0, alors que g(x)=x^2/x qui n'est pas définie en 0 est prolongeable en posant g(0)=0.

Posté par
ludiere : Prolongement 29-04-11 à 16:02

Je travaille sur un exmple,

\forall x appartient a R*: \\ f(x)=\frac{sin(x)}{x²} - \frac{1}{x}

Elle n'est pas continue en 0. Mais comment je peux démontrer qu'elle a meme limite a droite et a gauche?

Merci

Posté par
ludiere : Prolongement 29-04-11 à 16:04

il s'agit de x² au premier dénominateur

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement 29-04-11 à 16:05

Là, le mieux est de faire un développement limité du sinus si tu sais faire...

Posté par
ludiere : Prolongement 29-04-11 à 16:07

Oui bien sur donc comme on divise par x² j'effectue un DL de sin a l'ordre 2:

f(x) = \frac{x+o(x^2)}{x^2} -1/x

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement 29-04-11 à 16:16

Tu écris le terme suivant, pour qu'on voie bien!

f(x)=\frac{x+(x^3)/6+o(x^3)}{x^2}-\frac{1}{x}=x^2/6+o(x^2)

et ça tend clairement vers 0.

Posté par
ludiere : Prolongement 29-04-11 à 16:23

donc on peut dire que la fonction f admet un prolongement en 0. Si on appelle ce prolongement g, quel est il?

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement 29-04-11 à 17:33

g(x)=f(x) pour x\neq 0
g(0)=0


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