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Prolongement par continuité

Posté par
zartos
04-10-16 à 00:37

Bonsoir,

Voici l'énoncé: Déterminer le prolongement par continuité de la fonction f définie sur

\{0} par:

f(x)= \frac{ 1 } { x² } ( (1 + x)n - 1 - nx )n2

Je n'ai pas su calculer les limites en 0+ et en 0-

Merci d'avance

Posté par
Labo
re : Prolongement par continuité 04-10-16 à 07:59

Bonjour,
utilise le dl de (1+x)^n d'ordre 2
(1+x)^n=1+nx+(n(n-1)*x^2/2!+O(x^2)
si x=0 alors f(0)=n(n-1)/2

Posté par
zartos
re : Prolongement par continuité 06-10-16 à 22:01

Bonsoir Labo,

J'ai pas trop compris ce que vous vouliez dire.

Posté par
Labo
re : Prolongement par continuité 06-10-16 à 23:21

  si tu n'as pas vu les développements limités
  alors utilise  la formule de Newton
\dfrac{(1+x)^n-n-1}{x^2}=\dfrac{1+xn+\dfrac{n!\times x^2}{2!(n-2)!}+.........nx^{n-1}...+x^n-nx+1}{x^2}
 \\ =
\dfrac{(1+x)^n-n-1}{x^2}=\dfrac{\dfrac{n!\times x^2}{2!(n-2)!}+.....xn^{n-1}+x^n}{x^2}

\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)^n-n-1}{x^2}=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}

Posté par
zartos
re : Prolongement par continuité 07-10-16 à 23:20

Y'a t-il une autre méthode, je n'ai pas le droit d'utiliser le binôme de Newton.

Posté par
jsvdb
re : Prolongement par continuité 08-10-16 à 00:45

Bonsoir zartos

Je suggère dans un premier temps de changer de variable et d'étudier :

\lim_{y \rightarrow 1}\dfrac{(y^n-1)-n(y-1)}{(y-1)^2}

Puis d'écrire (y^n-1) = (y-1)\sum_{i = 0}^{n-1}{y^i}

Ce qui revient à étudier :

\lim_{y \rightarrow 1}\dfrac{\left (\sum_{i = 0}^{n-1}{y^i}\right)-n}{(y-1)}=\lim_{y \rightarrow 1}\dfrac{\sum_{i = 0}^{n-1}{(y^i-1)}}{(y-1)}=\lim_{y \rightarrow 1}{\sum_{i = 0}^{n-1}\dfrac{(y^i-1)}{(y-1)}=\lim_{y \rightarrow 1}{\sum_{i = 0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1}{y^j}=\sum_{i = 0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1}{1}=\sum_{i = 0}^{n-1}i=\dfrac{n(n-1)}{2}



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