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Prolongement par continuité

Posté par
Leffie33 14-12-18 à 15:17

Bonjour, on a bien:
\lim_{x->0^{-}} 1-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}
et
\lim_{x->0^{-}} exp(-\frac{1}{x}=+\propto

Je ne comprends pas pourquoi dans le premier cas 1/x^2 en 0 vaut 0 alors que dans le second -1/x  en 0 vaut +


Merci à toutes les personnes qui ferons l'effort de m'aider

Posté par
Leffie33re : Prolongement par continuité 14-12-18 à 15:18

\lim_{x->0^{-}} exp(-\frac{1}{x})=+\propto

désolée j'ai oublié une parenthèse

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement par continuité 14-12-18 à 15:27

Bonjour

Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire. Dans le premier cas la limite n'est pas 0.
Multiplie et divise par la quantité conjuguée.

Dans le deuxième cas il n'y a pas d'indétermination!

Posté par
Leffie33re : Prolongement par continuité 14-12-18 à 15:34

J'extrais ces deux résultats d'un livre c'est pour ça que je ne comprends pas , est-ce que je peux vous envoyer une photo ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement par continuité 14-12-18 à 15:41

Non, pas de photo.

Oublie le livre et fais-le par toi-même.

Dans le premier cas tu n'as même pas besoin de conjuguées. Que vaut \lim_{x\to 0^-}{1/x^2}? Puis tu continues...

Pour le second, que vaut \lim_{x\to 0^-}{-1/x}, et donc \lim_{x\to 0^- }e^{-1/x}}=?

Posté par
Leffie33re : Prolongement par continuité 14-12-18 à 15:56

comme ça je dirais lim (x tend vers 0-) de 1/x^2 vaut + infini et lim (x tend vers 0-) -1/x vaut + infini d'où lim x tend vers 0- de e^-1/x vaut + infini

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement par continuité 14-12-18 à 15:58

C'est bon.

Posté par
Leffie33re : Prolongement par continuité 14-12-18 à 16:12

Merci Camélia ^^, mais c'est bizarre quand même une telle erreur dans un livre …

Posté par
Camélia Correcteurre : Prolongement par continuité 14-12-18 à 16:14

Ca peut arriver! Tu as fait l'autre?

Posté par
luzakre : Prolongement par continuité 14-12-18 à 23:23

Bonsoir !
Si tu as vraiment écrit ce qu'il y a dans un livre, je ne vois aucune erreur !
La première ligne ne présentant aucune relation, on ne peut ni dire  "FAUX" ni dire "VRAI".

Posté par
Leffie33re : Prolongement par continuité 15-12-18 à 13:27

luzak
Bonjour je ne suis pas sûre d'avoir compri ? Ça  dépend du contexte ?

Posté par
luzakre : Prolongement par continuité 15-12-18 à 14:22

Il n'y a pas de contexte qui tienne !
Tu ne donnes aucun résultat, on ne peut pas dire si ce résultat absent est vrai ou faux !

Posté par
Leffie33re : Prolongement par continuité 15-12-18 à 18:11

Le but était d'étudier les éventuels prolongements par continuité de :
1)f(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x}
La fonction est définie et continue sur * mais elle n'est pas prolongeable par continuité en 0 car on a:
f(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{x}=\dfrac{x+\mid x\mid\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} }{x}=1+\frac{\mid x\mid }{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}
Ce qui nous donne:
\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^{-}}1-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=0
et \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}1+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=2

2) f(x)=\exp (-\frac{1}{x})
La fonction est définie et continue sur *, mais elle n'est pas prolongeable par continuité en 0 car on a:
\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\exp (-\frac{1}{x})=+\propto

Posté par
luzakre : Prolongement par continuité 16-12-18 à 08:32

Ta méthode pour trouver la limite en 0 ne convient absolument pas !
Tu crées une limite infinie inutile avec \dfrac1{x^2} et fais apparaître une forme indéterminée 0\times\infty.

Plus simplement : \lim_{x\to0}x+\sqrt{1+x^2}=1,\;\lim_{x\to0}x=0 et tu devrais conclure simplement avec le théorème de limite d'un quotient.

Posté par
Leffie33re : Prolongement par continuité 16-12-18 à 09:23

D'accord, je vous remercie énormément pour votre aide!

(La méthode que j'ai mentionné dans mon message précédent n'est pas la mienne  mais est extraite du livre justement)

Posté par
luzakre : Prolongement par continuité 16-12-18 à 12:30

S'il s'agit "vraiment" des limites en 0, ton "livre" dit faux !

Mais vérifie, ne serait-ce pas l'étude des limites en \pm\infty ?


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