|f(x)| <= x²

Je suppose que c'est prolongeable en 0.

lim(x-> 0-) f(x) = 0  (puisque pour tout x, -1 <= sin(1/x) <= 1)
lim(x-> 0+) f(x) = 0  (puisque pour tout x, -1 <= sin(1/x) <= 1)

Donc f(x) est prolongeable en 0 par continuité.

(bien que f(x) n'est pas dérivable en 0)
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Enfin, c'est ce que je pense.  

>> bien que f(x) ne soit pas dérivable en 0

Pas d'accord, |(f(x)-f(0))/x| <= |x| -> 0 donc f est dérivable en 0 et f'(0)=0.

Je pense que tutu a raison, j'avais en tête la fonction f(x) = x.sin(1/x)
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Pour glisser un lézard dans le potage,

La théorie dit aussi que la fonction est dérivable en x = a ssi  lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] existe et est définie en x = a.

je calcule alors pour f(x) = x².sin(1/x), la dérivée au point d'abscisse x quelconque par:
lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] et après une page de calcul, je trouve:
lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = 2x.sin(1/x) - cos(1/x)

J'essaie en x = 0 pour voir si la limite trouvée y est définie et on a:  lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h] = - cos(1/x) qui n'est pas définie.

Zut alors.  
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C'était juste pour être taquin, mais je n'empèche personne de chercher l'erreur qu'il doit bien y avoir quelque part.

f' n'est pas continue en 0, ce sont des choses qui arrivent !