Bonjour,
J'aimerais ce que signifie, pour une application linéaire f : E -> F, "prolonger par linéarité sur E".
Un exemple serait le bienvenue. 😁
Merci par avance.
Bonjour,
J'écris sans Latex, pour éviter de rendre le texte illisible.
Si on a une base (e_n) de E, définir f sur chaque e_n et "prolonger f par linéarité" permet de définir f sur E entier.
En effet, pour définir un prolongement de f, on prend x dans E, on écrit x = somme(x_n e_n), et on pose f(x) = somme(x_n f(e_n))
Cette expression coïncide avec f sur chaque e_n, c'est donc bien un prolongement, dont on peut vérifier la linéarité.
On peut regarder l'exemple suivant :
si on cherche une fonction linéaire f : R -> R, il suffit de définir f(1).
En effet, (1) (famille à un vecteur) est une base du R-espace vectoriel R.
Le prolongement par linéarité, ici, revient juste à dire que f est la fonction donnant la droite reliant (0, f(0) = 0) à (1, f(1))
Autre exemple : si E = F = R^2, regarder comment est transformée la base canonique permet de déterminer comment sera transformé un vecteur quelconque.
Bonsoir Maru0,
Merci beaucoup pour ta réponse très complète !
C'est bien plus clair dans ma tête à présent.
Merci encore et bonne soirée ! 😄
salut
j'avoue ne jamais avoir entendu cette expression ...
de plus dans l'énoncé on ne sait rien sur E et F ...
un contexte plus explicite serait nécessaire ...
parce que ce que dit Maru0 c'est simplement a définition d'une fonction linéaire sur un espace vectoriel
et la connaissance d'une fonction linéaire f sur une base de E suffit à connaitre f sur E entier par définition d'une fonction linéaire ...
Salut carpediem,
C'est tiré du manuel de Grifone.
C'est pour démontrer que : pour E et E' deux espaces vectoriels sur K de dimension n et p respectivement, {ei} et {uj} des bases de E et E', l'application :
M : Lk(E,E') ---> Mp,n(K)
f ---> M(f)ei,uj
est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Le "prolongement de f par linéarité sur E" intervient pour montrer que M est surjective.
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