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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Prolongement par linéarité

Posté par
ardea
11-10-21 à 09:41

Bonjour,

J'aimerais ce que signifie, pour une application linéaire f : E -> F, "prolonger par linéarité sur E".

Un exemple serait le bienvenue. 😁

Merci par avance.

Posté par
Maru0
re : Prolongement par linéarité 11-10-21 à 14:05

Bonjour,

J'écris sans Latex, pour éviter de rendre le texte illisible.

Si on a une base (e_n) de E, définir f sur chaque e_n et "prolonger f par linéarité" permet de définir f sur E entier.

En effet, pour définir un prolongement de f, on prend x dans E, on écrit x = somme(x_n e_n), et on pose f(x) = somme(x_n f(e_n))
Cette expression coïncide avec f sur chaque e_n, c'est donc bien un prolongement, dont on peut vérifier la linéarité.

On peut regarder l'exemple suivant :
si on cherche une fonction linéaire f : R -> R, il suffit de définir f(1).
En effet, (1) (famille à un vecteur) est une base du R-espace vectoriel R.
Le prolongement par linéarité, ici, revient juste à dire que f est la fonction donnant la droite reliant (0, f(0) = 0) à (1, f(1))

Autre exemple : si E = F = R^2, regarder comment est transformée la base canonique permet de déterminer comment sera transformé un vecteur quelconque.

Posté par
ardea
re : Prolongement par linéarité 11-10-21 à 21:40

Bonsoir Maru0,

Merci beaucoup pour ta réponse très complète !

C'est bien plus clair dans ma tête à présent.

Merci encore et bonne soirée ! 😄

Posté par
carpediem
re : Prolongement par linéarité 12-10-21 à 08:49

salut

j'avoue ne jamais avoir entendu cette expression ...

de plus dans l'énoncé on ne sait rien sur E et F ...

un contexte plus explicite serait nécessaire ...

parce que ce que dit Maru0 c'est simplement a définition d'une fonction linéaire sur un espace vectoriel

et la connaissance d'une fonction linéaire f sur une base de E suffit à connaitre f sur E entier par définition d'une fonction linéaire ...

Posté par
ardea
re : Prolongement par linéarité 12-10-21 à 10:09

Salut carpediem,

C'est tiré du manuel de Grifone.

C'est pour démontrer que : pour E et E' deux espaces vectoriels sur K de dimension n et p respectivement, {ei} et {uj} des bases de E et E', l'application :

M : Lk(E,E') ---> Mp,n(K)
                    f    ---> M(f)ei,uj

est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Le "prolongement de f par linéarité sur E" intervient pour montrer que M est surjective.

Posté par
carpediem
re : Prolongement par linéarité 12-10-21 à 17:54

ha ben je comprends mieux ... mais sans ce contexte ça ne voulait rien dire ...



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