Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Propriété des suites dans un espace compact
Bonjour à tous,
je suis donc arrivé au chapitre des espaces compacts de mon livre (quelle beauté !) permettant enfin de comprendre une propriété que l'on m'avait exposé comme définition en Analyse (topologie des ev normés). Voici donc :
"Soit (x_n) une suite de points de X compact. Alors :
a) (x_n) admet au moins une valeur d'adhérence
b) Si (x_n) admet une seule valeur d'adhérence , (x_n) converge vers
c) Les deux précédentes propriétés restent valables pour un filtre"
J'ai deux questions.
Pour la b), il y a un élément que je ne comprends pas. Je mets la démo jusqu'au point que je ne comprends pas :
"Si (x_n) ne tend pas vers , on peut trouver U voisinage ouvert de
et une suite extraite (x_nk) avec (x_nk) appartenant à F = U(contraire). [...]"
Est-ce vraiment nécessaire de prendre un voisinage ouvert ici ? Je ne comprends pas pourquoi il doit être ouvert... Peu importe le voisinage que l'on choisit, le contraire sera forcément inclus dans X donc on aura une sous-suite de point de X compact permettant d'exploiter la première propriété.
Deuxième question :
Pour la c), l'auteur précise que c'est la même preuve. J'ai montré sans problème la a) mais pour la b) je me bute juste à un problème d'écriture, et généralement je ne retiens pas une propriété si j'ai pas une preuve bien structurée dans le crâne.
Soit donc un espace E muni d'un filtre F, et .
J'avais pensé à ceci en reprenant la preuve sur les suites :
Supposons que . Alors par définition de convergence, on peut trouver un voisinage U (ouvert ?) de
tel que pour tout filtre
de F,
.
Là je bloque un peu pour l'écriture, la solution étant d'exploité a) sur une sorte de sous-application et de montrer alors que admet deux valeurs d'adhérence ce qui est absurde, mais je n'arrive pas à l'écrire...
Merci d'avance pour vos réponses.
Bonjour Kernelpanic
Le voisinage ouvert est nécessaire car son complémentaire est alors fermé, donc compact puisque l'on est dans un espace compact.
Bonjour,
On prend un voisinage ouvert pour que son complémentaire soit compact.
Pour ta question 2, à quoi sert ton espace E?
Ce que tu veux montrer c'est que tout filtre sur X admet une valeur d'adhérence.
Prend un filtre (F_a), et regarde l'adhérence des F_a, si leur intersection est vide....
En effet, j'ai vu un peu plus loin (en bas de la page après la démo) que si une partie A de X est fermée alors elle est compacte, merci.
mokassin je ne crois pas, si je prends E = 
et F = le filtre des complémentaires des parties finies de et phi l'application qui à n de E associe x_n fonctionne bien... je me trompe peut-être...
Je reviens vers vous si je trouve quelque chose
Tu ne crois pas quoi?
Que sur un espace compact tout filtre a une valeur d'adhérence?
Je ne vois pas bien à quoi ton assertion est censé apporter un contre-exemple.
J'ai mal interprété ta réponse mokassin, excuse moi. J'ai un encore un peu de mal à manipuler le vocabulaire des filtres mais j'ai compris ce que tu veux dire. J'ai réussi à prouver ce que je voulais, en particulier pour la b) que le filtre F admet deux valeurs d'adhérence ce qui est contradictoire.
Bonne soirée.
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac