Bonjour,

Regarde ce qui se passe avec les matrices symétriques et antisymétriques de .

merci de bien vouloir m'aider.Je ne maitrise pas encore trés bien les notions de symétrie et antisymétrie. Avant de progresser dans cette voie ,j'aimerais avoir sous les yeux cette matrice mystérieuse.est-ce possible de me la communiquer?

Bonjour,

L'on sait que est un -espace vectoriel de dimension , dont



est la -base canonique. Que faire pour déterminer la matrice de dans ?

Thierry

je suis un peu perdu. j'ai AA=I et conmme A multipliée par son inverse est également égal à I,la matrice recherchée devrait être égale à son inverse . la matrice identité satisfait cette condition mais quand on l'essaye ça ne marche pas. je souhaiterais ,thierry ou Narhm que vous me mettiez sous les yeux une matrice qui marche ,cela me permettrait peut-être de comprendre le raisonnement.

Tu n'as pas à être perdu. L'on a



Soit donc . Les coordonnées de cette matrice dans la -base canonique sont , de sorte que



qui désignent bien les coordonnées de la matrice dans .

Enfin, remarquons que .

Thierry

Merci beaucoup thierry pour ton aide .je n'ai pas le temps aujourd'hui de bien assimiler ce que tu me dis,mais demain je ferais tout pour y arriver.Bonne journée et merci encore.

je reviens sur cette propriété des matrices transposées.voilà ma question:  on sait que l'endomorphisme qui transforme une matrice carrée A en sa transposée,transforme ensuite celle-ci en A ,ce qui s'écrit f²=I  .quelqu'un peut-il me donner un exemple de matrice carrée d'ordre 2 pour faire simple qui satisfait cette propriété? merci

en fait il semblerait que l'on ne puisse pas écrire f²=I ou d'un point de vue matriciel A²=I.l'endomorphisme de transposition est donc vraiment particulier.je serais intéressé de savoir s'il existe une matrice qui fait la transposition et qui en même temps satisfait l'identité précédente.merci d'avance.

Bonjour ignotus,

Tes questions/remarques ne sont pas très claires.

Effectivement, si on regarde , alors . C'est un fait et les endomorphismes vérifiant cette dernière égalité sont appelées "symétrie vectorielle".

Par rapport à ta toute première question, à savoir la diagonalisation de f, oui elle est diagonalisable. Il suffit de remarquer que pour toute matrice symétrique (c'est à dire vérifiant ), on a et pour toute matrice antisymétrique (c'est à dire vérifiant ), on a .
A l'aide ce petit constant, on peut facilement trouver une base de dans laquelle est diagonale .

Par exemple pour n=2, on peut prendre,
.
Exercice : ces matrices forment une base de et la matrice de f dans cette base est bien diagonale.

Enfin, si tu cherches une matrice d'ordre 2 dont le carré est la matrice identité, tu peux prendre . Cela n'a rien d'impossible et on peut trouver de telles matrices en toute dimension.

bonjour Narhm . mea culpa. effectivement mes explications ne sont pas trés claires .je vais essayer de me résumer:  on sait que l'endomorphisme qui transforme une matrice carrée A ,d'ordre 2 par exemple,redonne dans l'autre sens la matrice initiale A .  A priori ,en appelant B la matrice de cet endomorphisme on aurait B²=I . Or on n'arrive pas à trouver une matrice B satisfaisant la double transposition ,c'est à dire qu'on trouve B(BA) différent de A .  Même la matrice identité n'est pas bonne .Résultat :la relation B²=I n'est pas exacte . Merci de me signaler si je fais une erreur de raisonnement et dans ce cas là peut-on me donner une matrice opérant sans problème la double transposition?

en reprenant la démonstration de thierrypoma,j'ai fini par comprendre . En fait la matrice existe mais elle est d'ordre 4 . La relation A²=I est vérifiée. un grand merci à  thierrypoma et narhm .